Lösung zu Zwei Gefässe: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 13. Juli 2009, 15:49 Uhr

Die Pumpe fördert in drei Stunden 43.2 m³ Wasser über eine Höhe von zehn Meter. Falls die Pumpe ohne Energieverlust arbeitet, ist die Pumparbeit gleich der Änderung der potenziellen Energie einer um 10 m gehobenen Wassermasse von 43.2 t:
[math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} * g * \Delta h = 43'200 kg * 9.81 N/kg * 10 m [/math] = 4.24 MJ.
Nach zwei Stunden hat die erste Pumpe 28.8 m³ Wasser ins erste Gefäss hinein und die zweite 7.2 m³ herausgepumpt. Somit beträgt die Zunahme im ersten Gefäss 21.6 m³, was den Spiegel um 5.4 m ansteigen lässt. Im zweiten Reservoir steigt der Spiegel um 3.6 m. Die zweite Pumpe hat demnach bei einer Pumphöhe von 3.6 m + 5 m - 5.4 m = 3.2 m eine Leistung abzugeben, die der des zugehörigen Gravitationsprozesses entspricht:
[math]P = \rho g \Delta h I_V = g \Delta h I_m = 9.81 N/kg * 3.2 m * 2 kg/s = [/math] 62.8 W
Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 2 * 3600 s * 2 l/s = 14.4 m³ Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3600 s * 4 l/s /(4 m²) = 3.6 m um 2 * 3600 s * (4 l/s - 2 l/s) /(4 m²) = 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 5 m + 14.4 m³ / (2 m²) = 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 5 m - 3.6 m = 1.4 m auf 12.2 m - 7.2 m = 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der potenziellen Energie
[math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} g \Delta h = 14'400 kg * 9.81 N/kg * 3.2 m = [/math] 0.439 MJ

Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 9.81 N/kg * 1.4 m * 2 kg/s = 27.5 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 9.81 N/kg * 5 m * 2 kg/s = 98.1 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 62.8 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was 0.452 MJ ergibt, also abgesehen von Rundungsfehlern gleich viel.

Aufgabenstellung

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 #Die Pumpe fördert in drei Stunden 43.2 m<sup>3</sup> Wasser über eine Höhe von zehn Meter. Falls die Pumpe ohne Energieverlust arbeitet, ist die Pumparbeit gleich der Änderung der [[potenzielle Energie|potenziellen Energie]] einer um 10 m gehobenen Wassermasse von 43.2 t: <br> <math>\Delta W_G = m_{gefoerdert} * g * \Delta h = 43'200 kg * 9.81 N/kg * 10 m </math> = 4.24 MJ.
 #Nach zwei Stunden hat die erste Pumpe 28.8 m<sup>3</sup> Wasser ins erste Gefäss hinein und die zweite 7.2 m<sup>3</sup> herausgepumpt. Somit beträgt die Zunahme im ersten Gefäss 21.6 m<sup>3</sup>, was den Spiegel um 5.4 m ansteigen lässt. Im zweiten Reservoir steigt der Spiegel um 3.6 m. Die zweite Pumpe hat demnach bei einer Pumphöhe von 3.6 m + 5 m - 5.4 m = 3.2 m eine [[Prozessleistung|Leistung]] abzugeben, die der des zugehörigen Gravitationsprozesses entspricht: <br> <math>P = \rho g \Delta h I_V = g \Delta h I_m = 9.81 N/kg * 3.2 m * 2 kg/s = </math> 62.8 W
-#Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 2 * 3600 s * 2 l/s = 14.4 m<sup>3</sup> Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3600 s * 4 l/s /(4 m<sup>2</sup>) = 3.6 m um 2 * 3600 s * (4 l/s - 2 l/s) /(4 m<sup>2</sup>) = 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 5 m + 14.4 m<sup>3</sup> / (2 m<sup>2</sup>) = 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 5 m - 3.6 m = 1.4 m auf 12.2 m - 7.2 m = 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der [[potenzielle Energie|potenziellen Energie]] <br> <math>\Delta W_G = m_{gefoerdert} g \Delta h = 14'400 kg * 9.81 N/kg * 3.2 m = </math> 0.439 MJ<br> <br> Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 9.81 N/kg * 1.4 m * 2 kg/s = 27.5 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 100 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 64 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was wiederum 0.46 MJ ergibt.
+#Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 2 * 3600 s * 2 l/s = 14.4 m<sup>3</sup> Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3600 s * 4 l/s /(4 m<sup>2</sup>) = 3.6 m um 2 * 3600 s * (4 l/s - 2 l/s) /(4 m<sup>2</sup>) = 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 5 m + 14.4 m<sup>3</sup> / (2 m<sup>2</sup>) = 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 5 m - 3.6 m = 1.4 m auf 12.2 m - 7.2 m = 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der [[potenzielle Energie|potenziellen Energie]] <br> <math>\Delta W_G = m_{gefoerdert} g \Delta h = 14'400 kg * 9.81 N/kg * 3.2 m = </math> 0.439 MJ<br> <br> Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 9.81 N/kg * 1.4 m * 2 kg/s = 27.5 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 9.81 N/kg * 5 m * 2 kg/s = 98.1 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 62.8 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was 0.452 MJ ergibt, also abgesehen von Rundungsfehlern gleich viel.
 '''[[Zwei Gefässe|Aufgabenstellung]]'''