Wasseruhr

Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. Wasseruhren sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnung dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.

Wasseruhr des Amenophis III

Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach.

Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit c, so gilt die Kontinuitätsgleichung für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius r) und Ausflussloch (Radisu r₀)

[math]\pi r^2 c=\pi r_0^2 v[/math]

Die Geschwindigkeit v berechnet sich nach dem Ausflussgesetz von Torricelli

[math]v=\sqrt{2gh}[/math]

Löst man nun die Torricelligleichung nach der Höhe auf, erhält man

[math]h = \frac {v^2}{2g} = \frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4[/math]

Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, d.h. also ein Gefäss, dessen Wände nicht konisch sondern nach dieser Formel gekrümmt sind, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem Gesetz von Bernoulli bei

Wasserspiegel: [math]p_1+\rho gh_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=p_L+\rho gh+\frac{\rho}{2} c^2[/math]

Ausfluss: [math]p_2+\rho gh_2+\frac{\rho}{2}v_2^2=p_L+\frac{\rho}{2} v^2[/math]

Setzt man die beiden Bernoulli-Terme gleich und löst nach v auf, erhält man eine gegenüber Torricelli erweiterte Formel für den Ausfluss

[math]v=\sqrt{c^2+2gh}[/math]

Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach h aufgelöst ergibt das

[math] h(r) = \frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right][/math]

Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante [math] k = \frac {c^2}{2g}[/math] tiefer als bei der Lösung mit der einfachen Formel von Torricelli.

Aufgabenstellung

Eine Wasseruhr soll 24 Stunden laufen, bis sie leer ist. Die Ausflussöffnung, die sich auf der Symmetrieachse des Gefässes befindet, hat einen Durchmesser von 5 mm (Radius 2.5 mm). Anfänglich liegt der Wasserspiegel 864 mm über der Abflussöffnung.

1. Welchen Durchmesser weist der Wasserspiegel zu Beginn der Zeitmessung auf?
2. Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?
3. Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden?

Lösung