Lösung zu Kraft auf Rohrstück: Unterschied zwischen den Versionen

Aus SystemPhysik
Inhalt hinzugefügt Inhalt gelöscht
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 9: Zeile 9:


1. Die [[Energiebilanz]], das [[Gesetz von Bernoulli]], liefert zusammen mit der [[Kontinuitätsgleichung]]
1. Die [[Energiebilanz]], das [[Gesetz von Bernoulli]], liefert zusammen mit der [[Kontinuitätsgleichung]]
:<math>p_1 + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_2 + \frac {\rho}{2} v_2^2, \quad v_1 A_1 = v_2 A_2, \quad v_1 = v_2 \cdot \frac {d_2^2}{d_1^2} = 10 m/s \cdot \frac {(0.05 m)^2}{(0.1 m)^2}</math> = 2.50 m/s
:<math>p_1 + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_2 + \frac {\rho}{2} v_2^2</math>

:<math> v_1 A_1 = v_2 A_2, \quad v_1 = v_2 \cdot \frac {d_2^2}{d_1^2} = 10 m/s \cdot \frac {(0.05 m)^2}{(0.1 m)^2}</math> = 2.50 m/s


:den Eintrittsdruck, wobei p<sub>2</sub> = p<sub>L</sub> = 0 Pa den Luftdruck und p<sub>1</sub> den Ueberdruck beim Eintritt darstellt
:den Eintrittsdruck, wobei p<sub>2</sub> = p<sub>L</sub> = 0 Pa den Luftdruck und p<sub>1</sub> den Ueberdruck beim Eintritt darstellt
Zeile 15: Zeile 17:
:<math> p_1 = p_2 + \frac {\rho}{2} \left(1 - \left(\frac {d_2}{d_1}\right)^4 \right) v_2^2 = 0 + \frac {1000 kg/m^3}{2} \left(1 - \left(\frac {0.05 m}{0.1 m}\right)^4 \right) (10 m/s)^2</math> = 46.9 kPa
:<math> p_1 = p_2 + \frac {\rho}{2} \left(1 - \left(\frac {d_2}{d_1}\right)^4 \right) v_2^2 = 0 + \frac {1000 kg/m^3}{2} \left(1 - \left(\frac {0.05 m}{0.1 m}\right)^4 \right) (10 m/s)^2</math> = 46.9 kPa


2. Die [[Impulsbilanz]] verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt. Die Impulsbilanz wenden wir auf das System Rohrstück plus Wasser an:
2. Die [[Impulsbilanz]] verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt. Die Überdruckkraft beim Austritt ist 0, weil hier der Überdruck 0 ist. Die Impulsbilanz wenden wir auf das System Rohrstück plus Wasser an:


:<math>F_A - F_{D1} - F_{D2} + \left(- v_1 \right) \cdot I_m - v_2 \cdot I_m = F_A - p_1 \cdot A_1 - p_2 \cdot A_2 - \left(v_1 + v_2 \right) \cdot I_m = \dot p = 0</math>
:<math>F_A - F_{D1} + \left(- v_1 \right) \cdot I_m - v_2 \cdot I_m = F_A - p_1 \cdot A_1 - \left(v_1 + v_2 \right) \cdot I_m = \dot p = 0</math>


Bei der Ein- und Austrittsfläche berechnen wir die Druckkraft nur mit dem Ueberdruck. Wenn auf der ganzen Systemgrenze nur der überall gleiche Umgebungsdruck (also der Luftdruck) herrschen würde, hätten wir eine Nettokraft von 0. Diese Kräfte können wir also in der Impulsbilanz weglassen. Wir müssen nur das berücksichtigen, was darüber hinausgeht: die mit dem Überdruck berechneten Druckkräfte bei Ein- und Austritt und die Haltekraft F<sub>A</sub> auf das Rohr, wobei p<sub>2</sub> = 0 ist.
Bei der Ein- und Austrittsfläche berechnen wir die Druckkraft nur mit dem Ueberdruck. Wenn auf der ganzen Systemgrenze nur der überall gleiche Umgebungsdruck (also der Luftdruck) herrschen würde, hätten wir eine Nettokraft von 0. Diese Kräfte können wir also in der Impulsbilanz weglassen. Wir müssen nur das berücksichtigen, was darüber hinausgeht: die mit dem Überdruck berechnete Druckkraft beim Eintritt und die Haltekraft F<sub>A</sub> auf das Rohr.


:<math>F_A = p_1 A_1 + v_1 I_m + v_2 I_m = </math> 46.9 kPa * 0.00785 m<sup>2</sup> + 2.5 m/s * 19.6 kg/s + 10 m/s * 19.6 kg/s = 368 N + 49 N + 196 N = 613 N
:<math>F_A = p_1 A_1 + v_1 I_m + v_2 I_m = </math> 46.9 kPa * 0.00785 m<sup>2</sup> + 2.5 m/s * 19.6 kg/s + 10 m/s * 19.6 kg/s = 368 N + 49 N + 196 N = 613 N

Version vom 22. Februar 2010, 19:22 Uhr



Bei dieser Problemstellung sollte man sowohl beim Aufstellen der Energiebilanz als auch bei der Impulsbilanz mit dem Ueberdruck arbeiten. Das heisst, dass der Referenzdruck der Umgebungsdruck ist, also ca. 105 Pa.

Die Ein- und Austrittsflächen betragen A1 = π/4 * (0.1 m)2 = 0.00785 m2, A2 = π/4 * (0.05 m)2 = 0.00196 m2 und der Volumen- und der Massenstrom IV = v2 * A2 = 10 m/s * 0.00196 m2 = 0.0196 m3/s, Im = ρ * IV = 1000 kg/m3 * 0.0196 m3/s = 19.6 kg/s.

1. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert zusammen mit der Kontinuitätsgleichung

[math]p_1 + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_2 + \frac {\rho}{2} v_2^2[/math]
[math] v_1 A_1 = v_2 A_2, \quad v_1 = v_2 \cdot \frac {d_2^2}{d_1^2} = 10 m/s \cdot \frac {(0.05 m)^2}{(0.1 m)^2}[/math] = 2.50 m/s
den Eintrittsdruck, wobei p2 = pL = 0 Pa den Luftdruck und p1 den Ueberdruck beim Eintritt darstellt
[math] p_1 = p_2 + \frac {\rho}{2} \left(1 - \left(\frac {d_2}{d_1}\right)^4 \right) v_2^2 = 0 + \frac {1000 kg/m^3}{2} \left(1 - \left(\frac {0.05 m}{0.1 m}\right)^4 \right) (10 m/s)^2[/math] = 46.9 kPa

2. Die Impulsbilanz verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt. Die Überdruckkraft beim Austritt ist 0, weil hier der Überdruck 0 ist. Die Impulsbilanz wenden wir auf das System Rohrstück plus Wasser an:

[math]F_A - F_{D1} + \left(- v_1 \right) \cdot I_m - v_2 \cdot I_m = F_A - p_1 \cdot A_1 - \left(v_1 + v_2 \right) \cdot I_m = \dot p = 0[/math]

Bei der Ein- und Austrittsfläche berechnen wir die Druckkraft nur mit dem Ueberdruck. Wenn auf der ganzen Systemgrenze nur der überall gleiche Umgebungsdruck (also der Luftdruck) herrschen würde, hätten wir eine Nettokraft von 0. Diese Kräfte können wir also in der Impulsbilanz weglassen. Wir müssen nur das berücksichtigen, was darüber hinausgeht: die mit dem Überdruck berechnete Druckkraft beim Eintritt und die Haltekraft FA auf das Rohr.

[math]F_A = p_1 A_1 + v_1 I_m + v_2 I_m = [/math] 46.9 kPa * 0.00785 m2 + 2.5 m/s * 19.6 kg/s + 10 m/s * 19.6 kg/s = 368 N + 49 N + 196 N = 613 N

Aufgabe

Abgerufen von „http://systemdesign.ch/index.php?title=Lösung_zu_Kraft_auf_Rohrstück&oldid=9689“