Lösung zu Aviatik 2013/1
Lösung 1
- Das erste Gefäss enthält anfänglich 0.6 m3 Wasser. Dieses verteilt sich auf insgesamt einen Quadratmeter Grundfläche. Somit steht das Wasser am Schluss in beiden Gefässen 0.6 m hoch. Insgesamt fliessen in 600 s 0.42 m3 (1.4 m * 0.3 m2) Wasser von einem Gefäss ins andere. Das ergibt einen mittleren Volumenstrom der Stärke 0.7 l/s. Weil die Volumenstromstärke linear mit der Zeit abnimmt, muss der Anfangsstrom doppelt so stark sein, also 1.4 l/s.
- Das geflossene Volumen entspricht der Fläche unter dem Volumenstromstärke-Zeit-Diagramm. Diese Fläche ist hier ein Dreieck. Demnach fliessen in den letzten 400 s 4/9 der Menge weg und somit in den ersten 200 s 5/9 der Menge, was 0.233 m3 entspricht. Dies ergibt eine Füllhöhe von 1.22 m.
- Die 0.42 m3 oder 420 kg Wasser fallen im Durchschnitt ein Meter tief. Also gilt [math]\displaystyle{ W_{diss}=\Delta m g\Delta h= 4.12 kJ }[/math]
- Für turbulente Strömungen gilt [math]\displaystyle{ \Delta p=k_VI_V^2 }[/math]. Weil sich die Druckdifferenz mit der Verdoppelung des Durchmessers nicht ändert, gilt [math]\displaystyle{ \frac{I_{V2}}{I_{V1}}=2^{5/2} }[/math]. Damit das gleiche Volumen fliesst, muss das Produkt aus Volumenstromstärke und Zeit konstant bleiben, womit die Prozesszeit umgekehrt proportional zu Anfangsvolumenstromstärke ist [math]\displaystyle{ \Delta t_2=2^{-5/2}\Delta t_1 }[/math] = 106 s.