Lösung zu Kreisprozess mit Helium

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  T-S-Diagramm

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  p-V-Diagramm

1. Im T-S-Diagramme verläuft die isochore Zustandsänderung exponentiell nach oben, die isotherme horizontal und die isobare wiederum exponentiell und weniger steil zurück zum Ausgangspunkt. Im p-V-Diagramm steigt die Kurve zuerst vertikal nach oben, läuft dann auf einer Hyperbel ([math]pV=p_0V_0[/math]) nach rechts unten und zum Schluss auf einer Horizontalen nach links. Im T-S-Diagramm entspricht die Fläche unter der Kurve eines Teilprozesses der Wärme. Im p-V-Diagramm ergibt die entsprechende Fläche die (negativ genommene) Arbeit.
2. Das universelle Gasgesetz liefert für den unteren Druck einen Wert von p₀ = n * R * T₀ / V₀ = 10'000 mol * 8.31 J/K/mol * 300 K / 1 m³ = 249 bar. Der Druck nach dem Aufheizen beträgt p₁ = n * R * T₁ / V₁ = 10'000 mol * 8.31 J/K/mol * 900 K / 1 m³ = 748 bar.
3. Im ersten Prozess nimmt die Entropie um [math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}=\frac 3 2 nR\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math] = 137 kJ/K zu. Im dritten, isobaren Teilprozess nimmt die Entropie um 5/3 dieses Wertes, also um 228 kJ/K ab, weil die Wärmekapazität bei konstantem Druck um diesen Wert grösser als die Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist. Die Differenz von 91 kJ/K muss im isothermen Prozess aus einem Wärmebad zugeführt werden.
4. Im ersten Prozess nimmt die innere Energie des Heliums um [math]W_{therm12}=\Delta W=\frac{3}{2}nR\Delta T[/math] = 74.8 MJ zu. Bei der nachfolgenden isothermen Zustandsänderung muss dem Gas zusätzliche Energie in Form von Wärme zugeführte werden [math]W_{therm23}=T_2 \Delta S_{23} =nRT_2\ln{\frac{V_2}{V_3}}[/math] = 82.2 MJ (bei einer isothermen Expansion bleibt die Entropie, welche die Energie trägt, im Gas drin; die Energie geht dagegen direkt in Form von Arbeit weg). Um die Energie für diese beiden Teilprozesse aus dem Ofen abzutransportieren, muss der Ofen die folgende Entropiemenge abgeben [math]S_{Ofen}=\frac{W_{therm13}}{T_{Ofen}}=\frac{157 MJ}{1000 K}[/math] = 157 kJ/K. Im dritten Teilprozess, dem isobaren, wird die eine bestimmte Energiemenge in Form von Wärme abgeführt [math]W_{therm31}=\frac 5 2 nR \Delta T[/math] = 125 MJ. Diese Energie muss bei einer Temperatur von 280 K von der Entropie [math]S_{Um}=\frac{W_{therm31}}{T_{Um}}[/math] = 445 kJ/K in die Umwelt hinein getragen werden. Erzeugt wird die Differenz zwischen der von Umwelt aufgenommenen und der vom Ofen abgegebenen Entropie. Diese Differenz beträgt 288 kJ/K.

Aufgabe