Lösung zu Iglu

Wir vernachlässigen den Umstand, dass bei einer Hohlkugel die Innenfläche kleiner als die Aussenfläche ist. Das Iglu hat somit eine Wandfläche von 4 * π * (3 m)² / 2 = 56.5 m², was bei einem Energiestrom von 800 W eine Energiestromdichte von j_W = 800 W / 56.5 m² = 14.16 W/m² ergibt.

1. Damit die Temperatur nicht tiefer fällt, darf der Verlust-Energiestrom U * ΔT durch die Igluwand nicht grösser sein als der abgegebene Energiestrom der Wärmequellen: [math] j_W = U \Delta T, U = \frac {j_W}{\Delta T}[/math] = 56.5 W/(m² / (-10°C - (-50°C)) = 0.354 W/m²/K. Deshalb darf der Wärmedurchgangskoeffizient der Iglu-Wand darf nicht grösser als 0.354 W/m²/K sein. Um die minimale Wandstärke zu bestimmen, lösen wir die Formel für U nach der Wandstärke auf. Dies ergibt eine Wandstärke von [math] \Delta s = \lambda \left( \frac{1}{U} - \frac{1}{\alpha_i} - \frac{1}{\alpha_a} \right) = 0.55 W/m/K \left( \frac{1}{0.354 W/m^2/K} - \frac{1}{25 W/m^2/K} - \frac{1}{25 W/m^2/K} \right)[/math] = 1.51 m .
2. In den beiden Übergängen zwischen Luft und Schnee fällt die Temperatur entlang des Wärmestromes um je [math] \Delta T=\frac {j_W}{\alpha}[/math] = 14.16 W/m² / 25 W/m²/K = 0.57 K ab. Die Innenfläche des Iglus ist mit -10.56°C etwa gleich warm wie der Innenraum und die Aussenfläche mit - 49.44°C nimmt praktisch die Aussentemperatur an. Offensichtlich ist beim Iglu - im Gegensatz zu einer Tasse mit heissem Tee - das Material und nicht die Oberfläche für die Wärmedämmung verantwortlich.

3. 

   Systemdiagramm

   Zur Modellierung zerlegen wir das Iglu in vier Energiespeicher: Innenraum und drei gleich dicke Schneeschichten. Die Energie denken wir uns jeweils in der Mitte einer Schneeschicht konzentriert. Der Wärmedurchgang erfolgt dann vom Iglu-Innern bis in die Mitte der innersten Schicht und muss dabei den Übergang an der Innenoberfläche und die halbe Schichtdicke der innersten Schicht überwinden. Von dort fliesst der Wärmestrom weiter bis zur Mitte der nächsten Schicht, also durch eine Schneestrecke, die 2 halben Schichten entspricht. Von dort fliesst der Wärmestrom analog weiter ... . Die Wärmeleitung erfolgt dann über vier Leitwerte (Übergang plus ein Sechstel der Schneeschicht, zwei Mal ein Drittel der Schneeschicht und nochmals ein Sechstel der Schneeschicht plus Wärmeübergang). Die Speichergrösse nennen wir H für Enthalpie. Der Innenradius messe 2.25 m und der Aussenradius 3.75 m. Die Kapazität des Innenraums kann nur grob geschätzt werden, weil der Boden ebenfalls kapazitiv wirkt. Das Modell berechnet die Temperatur jedes Speichers über seine Kapazität. Die Temperaturdifferenzen steuern die Energieströme zwischen den Speichern.
4. Das untenstehende Diagramm zeigt den Temperaturverlauf aussen, innen und in den drei Schneeschichten. Offensichtlich wirkt die Hülle des Iglus stark dämpfend. Zudem läuft die Innentemperatur phasenverschoben der Aussentemperatur nach. Weil es draussen anfänglich zu warm (-10°C) gewesen ist, steigt die Innentemperatur zuerst an. Das Iglu ist zu stark isoliert, weil die Dämmung auf die tiefste Temperatur ausgelegt worden ist.

Aufgabe