Kapazität und Induktivität
Lernziele
elektromagnetisches Feld
Elektrische Felder (Feldstärke E) und magnetische Felder (Feldstärke B) wirken mit einer Kraft FL auf elektrisch geladene Körper (Ladung Q) ein
- [math]\vec F_L = Q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]
Das elektrische Feld beschleunigt einen geladenen Körper in (positive Ladung) oder gegen (negative Ladung) die Richtung des elektrischen Feldes. Die Kraftwirkung des Magnetfeldes steht normal zur Ebene, die von der Geschwindigkeit und der magnetischen Feldstärke aufgespannt wird. Bewegt sich der Körper parallel zu den magnetischen Feldvektoren (Feldlinien), wirkt keine Kraft.
Ein kleiner, geladener Körper mit der elektrischen Ladung Q0 erzeugt ein radialsymmetrisches Feld der Stärke
- [math]\vec E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_0}{r^2}[/math] wobei [math]\epsilon_0[/math] = 8.854 x 10-12 F/m die elektrische Feldkonstante ist. Der Abstand von der Körpermitte bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet.
Ein gerader stromdurchflossener Draht (Stromstärke I0) erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld, d.h.die magnetischen Feldlinien bilden konzentrische Kreise um den Draht herum, wobei die Orientierung der Feldstärkevektoren B der rechten-Hand-Regel gehorcht. Die Stärke des Magnetfeldes nicmmt umgekehrt proportional mit dem Abstand zum sehr langen Draht ab
- [math]\vec B = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_0}{r}[/math] wobei [math]\mu_0[/math] = 4π x 10-7 H/m die magnetische Feldkonstante ist. Der Abstand von der Körpermitte bis zum Punkt, an dem man die Feldstärke misst, wird hier mit r bezeichnet.
Das Produkt der beiden Feldkonstanten ist gleich dem Reziprokwert der Lichtgeschwindigkeit im Quadrat. In der Elektrizitätslehre ist die Lichtgeschwindigkeit eine universelle Naturkonstante, was Einstein zu folgendem Postulat bewogen hat: die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Bezugssystem gleich gross.
Ladung erzeugt ein elektrisches Feld und Strom erzeugt ein magnetisches Feld. Weil Strom und Ladung über die Bilanz miteinander verknüpft sind, bilden auch das elektrische und das magnetische Feld eine untrennbare Einheit, das elektromagnetische Feld. Dieses Feld ist wie die "Materie" ein eigenständiges physikalisches System, das Energie, Impuls, Drehimpuls und Entropie speichern und transportieren kann.
Das elektrische Feld erzeugt eine Spannung, die im homogenen Feld wie folgt berechnet wird: die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich Feldstärke mal Abstand gemessen in Feldrichtung. Indem man das elektrische Feld mit dem Gravitationsfeld vergleicht, kann man diese Berechnungsformel gut verstehen
- Gravitationsfeld [math]U_G = g\Delta h[/math]
- elektrisches Feld [math]U = E\Delta s[/math]
Die elektrische Spannung wird durch ein elektrisches Feld erzeugt, das wiederum von einer elektrischen Ladung aufgebaut wir. Deshalb wird der Drahl einer Hochspannungsleitung in einer fünfzigstel Sekunde einmal positiv und einmal negativ aufgeladen. Dabei entsteht ein starkes elektrisches Feld, das die umgebende Luftmoleküle oft sogar ionisieren kann. Energie wird aber erst transportiert, wenn gleichzeitig noch ein Strom durch den Leiter fliesst, der dann ein magnetisches Feld aufbaut. Nach den heutigen Vorstellungen wird die elektrische Energie nicht durch den Drahl sondern durch das elektromagnetischen Feld transportiert.
Der Kondensator
Elektrisch geladene Kugeln speichern entsprechend dem gemessenen Potential Ladung und Energie. Die elektrische Ladung sitzt auf der Kugeloberfläche, die Energie im elektrischen Feld. Übersetzt man ein System bestehend aus zwei gegensätzlich geladenen Kugeln ins Flüssigkeitsbild, werden aus den Kugeln zylinderförmige Töpfe mit der Kapazität als Querschnittfläche und dem Potential als Füllhöhe. Die beiden Töpfe stehen in einem riesigen See drin, mit dem beliebig viel Ladung ausgetauscht werden kann. Der See, der das Nullniveau für die Füllhöhe festlegt, steht für die Erde.
Nun gehen wir von ungeladenen Kugeln aus, entnehmen der einen Kugel eine kleine Ladung und führen sie der Erde zu. Je mehr Ladung wir der Kugel entnommen haben, umso mehr Energie brauchen wir für die nächste Ladungsmenge. Führen wir der andern Kugel Ladung von der Erde her zu, machen wir die gleiche Erfahrung. Der Grund für diese Zunahme der Energie können wir direkt dem Flüssigkeitsbild entnehmen: je mehr Ladung ein Körper enthält, desto höher müssen wir die nächste Ladungsportion "pumpen". Beim negativ geladenen Körper gilt die spiegelbildliche Aussage: je weniger Ladung der Körper enthält, desto höher müssen wir die nächste Ladungsportion "pumpen".
Die Analogie geht noch ein Stück weiter. Im Flüssigkeitsbild stellen wir uns eine Flüssigkeit vor, die im Schwerefeld der Erde gepumpt wird. Bei den elektrisch geladenen Kugeln "pumpen" wir gegen das elektrische Feld. Ersetzt man die Kugeln durch je zwei sehr grosse Platten, die durch ein Dielektrikum getrennt sind, wir die Anaogie mathematisch noch stimmiger. Dazu verbinden wir die eine Platte mit der Erde. Die Ladung der andern Platte ist dann die Kondensatorladung, die wir ins Flüssigkeitsbild übertragen. Die nachfolgende Tabelle beschreibt die Analogie, wobei in der Elektirzitätslehre von einem Plattenkondensator ausgegangen wird.
| Begriff | Gravitation | Elektrizität |
|---|---|---|
| Menge | schwere Masse m (kg) | elektrische Ladung Q(C) |
| Potential | UG = gh | U = Es |
| Kapazität | Cm = ρ A/g | C = εrε0A/d |
| gespeicherte Menge | m = CmUG | Q = CU |
| gespeicherte Energie | WG = mUG/ 2 = CmUG2/ 2 = Cm/ (2 m2) | WE = QU/ 2 = CU2/ 2 = C/ (2 Q2) |
εr ist eine Zahl grösser 1 und heisst relative Permittivität (auch Dielektrizitätszahl); ε = 8.85 10-12 F/m ist die elektrische Feldkonstante.
Kapazität und Induktivität
Kapazität und Induktivität sind die beiden Gegenspieler in dynamisch-elektrischen Systemen. Kapazität ist die Eigenschaft der Kondensatoren und Induktivität die der (idealen) Spulen. Beide Systeme können Energie speicher, wobei die Energie beim Kondensator im elektrischen und bei der Spule im magnetischen Feld gespeichert wird. Die konstitutiven Gesetze für die beiden linearen Systeme lauten
- Kapazität [math]I = C\dot U[/math] aus [math]Q = CU[/math]
- Induktivität [math]U = L\dot I[/math]
Kapazitäten werden in Farad (F) und Induktivitäten in Henry (H) gemessen. Die kapazitiv gespeicherte Energie ist proportinal zur Ladung im Quadrat und die induktiv gespeicherte Energie proportional zur Stromstärke im Quadrat
- Kapazität [math]W_C = \frac{Q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}[/math]
- Induktivität [math]W_L = \frac{LI^2}{2}[/math]
Sowohl Farad als auch Henry sind recht grosse Einheiten. Superkondensatoren (Supercaps) können Kapazitäten von Kilofarad (kF) erreichen, wobei die Spannung nur einige wenige Volt betragen darf.