Kugel vom Eiffelturm

Eine Kugel fällt aus einer Höhe von 300 Meter (Höhe des Eiffelturms) hinunter. Wie lange dauert diese Bewegung und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Vakuum

Würde man die Kugel im Vakuum fallen lassen, wäre die Beschleunigung betragsmässig gleich der Gravitationsfeldstärke. Die Geschwindigkeit der Kugel würde jede Sekunde um 10 m/s zunehmen. Ihre Endgeschwindigkeit wäre dann gleich

[math]v_e=\sqrt{2gh}[/math] = 76.7 m/s

Dies ergibt eine Fallzeit von

[math]t=\frac{v_e}{g}[/math] = 7.8 s

Endgeschwindigkeit

Das Gravitationsfeld führt der Kugel mit konstanter Rate Impuls zu. Die Zufuhrrate, Gewichtskraft genannt, ist gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke

[math]F_G=mg=\varrho V g=\varrho \frac{4\pi}{3}r^3g[/math]

Der Luftwiderstand führt mit zunehmender Geschwindigkeit immer mehr Impuls ab

[math]F_W=\frac{\varrho_L}{2}v^2c_WA[/math]

Im Gleichgewichtszustand entzieht die Luft der Kugel gleich viel Impuls wie das Gravitationsfeld zuführt. Folglich gilt

[math]\varrho \frac{4\pi}{3}r^3g=\frac{\varrho_L}{2}v_e^2c_W\pi r^2[/math]

Löst man diese Gleichgewichtsbedingung nach der Geschwindigkeit auf, folgt

[math]v_e=\sqrt{\frac{8}{3 c_W}\frac{\varrho}{\varrho_L}rg}[/math]

Die Endgeschwindigkeit nimmt bei einer Vollkugel mit der Wurzel aus dem Radius und der Dichte zu. Für eine Holzkugel mit einer Dichte von 600 kg/m³ und einem Durchmesser von 10 cm liefert die Gleichgewichtsbedingung eine Endgeschwindigkeit von 40.4 m/s oder 146 km/h.