Lösung zu Zwei Luftkissenfahrzeuge

1. Die Teleskopstange verhält sich zu Beginn wie ein starrer Stab und beide Fahrzeuge haben die gleiche Geschwindigkeit. Deshalb verteilt sich der zufliessende Impuls so auf die beiden Fahrzeuge, dass diese ihre Geschwindigkeit mit der gleichen Rate erhöhen; also haben beide Fahrzeuge anfänglich die gleiche Beschleunigung. Weil das linke Fahrzeug die 3-mal grössere Masse hat als das rechte, ist in dieser Phase die Impulsänderungsrate des linken Fahrzeugs auch 3-mal grösser. Über die Impulsbilanz des rechten Fahrzeugs findet man, dass der durch die Teleskopstange fliessende Impulsstrom das 0.75-fache (Masse des hinteren Fahrzeuges durch Gesamtmasse) des Impulsstroms sein muss, der durch das Seil zuströmt. Bei einer Stromstärke von 6 N durch die Teleskopstange beginnt sich diese auszudehnen und wirkt dadurch als Impulsstrombegrenzer. Die Seilkraft beträgt dann 6 N / 0.75 = 8 N. Diesen Wert erreicht die Seilkraft nach 8 N / (20 N / 0.25 s) = 0.1 s. Weil in der Zwischenzeit ein Impuls von 0.1 s * 8 N / 2 = 0.4 Ns (Fläche unter der Impulsstromstärke-Zeit-Kurve) über das Seil zugeflossen ist, bewegen sich die Fahrzeuge mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 0.4 Ns / 1 kg = 0.4 m/s.
2. In den restlichen 0.15 s fliessen über die Teleskopstange noch 6 N * 0.15 s = 0.9 Ns in das linke Fahrzeug. Dieses kann damit seine Geschwindigkeit auf 0.4 m/s + 0.9 Ns / 0.75 kg = 1.6 m/s erhöhen. Weil während dieser Zeit über das Seil 0.5 * (8 N + 20 N) * 0.15 s = 2.1 Ns zufliessen, verbleiben im leichteren Fahrzeug 1.2 Ns, womit dieses seine Geschwindigkeit auf 0.4 m/s + 1.2 Ns / 0.25 kg = 5.2 m/s erhöhen kann.
3. Nach einiger Zeit hat sich der total über das Seil zugeführte Impuls von 0.25 s * 20 N / 2 = 2.5 Ns auf beide Fahrzeuge verteilt. Diese bewegen sich dann mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit von 2.5 Ns / (0.75 kg + 0.25 kg) = 2.5 m/s weiter.
4. Zwischen 0.1 s und 0.2 s fliesst ein Impuls von 0.1 s * 6 N = 0.6 Ns in linke Fahrzeug. Dadurch erhöht sich seine Geschwindigkeit auf 0.4 m/s + 0.6 Ns / 0.75 kg = 1.2 m/s. In dieser Zeit steigt der Impulsstrom im Seil auf 16 N und transportiert einen Impuls von 0.1 s * (8 N + 16 N) / 2 = 1.2 Ns in das rechte Fahrzeug. Davon verbleiben in dieser Zeitphase aber nur 1.2 Ns - 0.6 Ns = 0.6 Ns im rechten Fahrzeug. Seine Geschwindigkeit nimmt deshalb auf 0.4 m/s + 0.6 Ns / 0.25 kg = 2.8 m/s zu. Der Impulsstrom in der Teleskopstange durchfällt zum Zeitpunkt 0.2 s eine Geschwindigkeitsdifferenz von 2.8m/s - 1.2m/s = 1.6 m/s und setzt eine Leistung von 1.6 m/s * 6 N = 9.6 W frei.
5. Die Energiestromstärke ist gleich dem Produkt aus Impulsstromstärke und Geschwindigkeit. Weil die Impulsstromstärke linear und die Geschwindigkeit quadratisch mit der Zeit wächst, steigt die Stärke des zugeordneten Energiestromes kubisch mit der Zeit an. Die total zugeführte Energie vom knapp 5.5 J erhält man dann durch eine Integration über die Zeit. Diese Integration lässt sich mit Hilfe der Analysis, eines Tabellenkalkulatinsprogrammes oder graphisch ausführen.
6. Die insgedamt im Teleskoprohr dissipierte Energie ist gleich zugeführter Energie abzüglich der kinetischen Energie der beiden Fahrzeuge, also gleich 5.5 J - 0.5 * 1 kg * (2.5 m/s)^2 = 2.4 J.

Das systemdynamische Modell zu dieser Aufgabe finden Sie unter 2 LKF mit Teleskopstange.

Aufgabe