Kugel vom Eiffelturm
Eine Kugel fällt aus einer Höhe von 300 Meter (Höhe des Eiffelturms) hinunter. Wie lange dauert diese Bewegung und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?
Vakuum
Würde man die Kugel im Vakuum fallen lassen, wäre die Beschleunigung betragsmässig gleich der Gravitationsfeldstärke. Die Geschwindigkeit der Kugel würde jede Sekunde um 10 m/s zunehmen. Ihre Endgeschwindigkeit wäre dann gleich
- [math]v_e=\sqrt{2gh}[/math] = 76.7 m/s
Dies ergibt eine Fallzeit von
- [math]t=\frac{v_e}{g}[/math] = 7.8 s
Endgeschwindigkeit
Das Gravitationsfeld führt der Kugel mit konstanter Rate Impuls zu. Die Zufuhrrate, Gewichtskraft genannt, ist gleich Masse mal Gravitationsfeldstärke
- [math]F_G=mg=\varrho V g=\varrho \frac{4\pi}{3}r^3g[/math]
Der Luftwiderstand führt mit zunehmender Geschwindigkeit immer mehr Impuls ab
- [math]F_W=\frac{\varrho_L}{2}v^2c_WA[/math]
Im Gleichgewichtszustand entzieht die Luft der Kugel gleich viel Impuls wie das Gravitationsfeld zuführt. Folglich gilt
- [math]\varrho \frac{4\pi}{3}r^3g=\frac{\varrho_L}{2}v_e^2c_W\pi r^2[/math]
Löst man diese Gleichgewichtsbedingung nach der Geschwindigkeit auf, folgt
- [math]v_e=\sqrt{\frac{8}{3 c_W}\frac{\varrho}{\varrho_L}rg}[/math]
Die Endgeschwindigkeit nimmt bei einer Vollkugel mit der Wurzel aus dem Radius und der Dichte zu. Für eine Holzkugel mit einer Dichte von 600 kg/m3 und einem Durchmesser von 10 cm liefert die Gleichgewichtsbedingung eine Endgeschwindigkeit von 40.4 m/s oder 146 km/h.
Modell
Die Impulsbilanz bildet das Rückgrat dieses Modells zur eindimensionalen Translationsmechanik. Das Gravitationsfeld führt der Kugel mit der konstanten Rate m*g Impuls zu. Die Luft führt mit zunehmender Geschwindigkeit immer mehr Luft ab. Der statische Auftrieb, der auch in Luft wirkt, ist hier nicht berücksichtigt bzw. mit der Dichte der Kugel verrechnet worden.
Simulation
Energie
