Hydromobil

Das Hydromobil ist eine virtuelles Fahrzeug, an dem die Impulsbilanz bei offenen Systemen geübt werden kann. Das Hydromobil ist oben offen, um das von oben hinein fallende Wasser aufzunehmen (1). Unten besitzt es einen Auslass, durch den es Wasser ablassen kann (2). Vorne (3) und hinten (4) ist das Hydromobil mit je einer Schlauchdüse bestückt, durch die mittels einer Pumpe Wasser horizontal weg gespritzt werden kann. Das Hydromobil kann in drei Modi betrieben werden. Im Modus frei rollt es reibungsfrei dahin. Im Modus fest sorgt ein geregelter Antrieb dafür, dass die Geschwindigkeit des Hydromobils auf einem konstanten Wert gehalten wird. Im Modus Reibung wirkt eine konstante Reibkraft an den Rädern gegen die Bewegung des Hydromobils.

Bilanzgleichungen

Die Impulsbilanz bezüglich des Hydromobils lautet

[math]F+v_1I_{m1}+v_2I_{m2}+v_3I_{m3}+v_4I_{m4}=\dot p=\dot m v+m\dot v[/math]

Alle Geschwindigkeiten sind gegen das Bezugssystem zu messen. Ist die Geschwindigkeit c_i gegen das Hydromobil gegeben, gilt

[math]v_i=v+c_i[/math] i = 1, 2, 3, 4

Die Geschwindigkeit des vom Hydromobil aufgenommenen Wassers ist gleich Null, sobald es senkrecht herunter fällt. Die Geschwindigkeit des durch den Auslass (2) abfliessenden Wassers ist in der Regel gleich der Geschwindigkeit des Hydromobils, also gleich v.

Als zweite Gleichung benötigen wir noch die Massenbilanz

[math]I_{m1}+I_{m2}+I_{m3}+I_{m4}=\dot m[/math]

Im Modus fest fällt auf der rechten Seite der Term mit Beschleunigung weg, im Modus frei fehlt die Kraft und im Modus Reibung gilt

[math]F=-F_R\sgn(v)[/math]

Anwendungen

Rakete

Um die Bewegungsgleichung für eine reibungsfrei gleitende Rakete zu erhalten, wird alle Massenströme ausser der nach hinten weg spritzende gleich Null gesetzt. Folglich kann auch auf die Indizierung verzichtet werden

[math](v-c)I_m=\dot m v+m\dot v[/math]

Ersetzt man die Änderungsrate der Masse über die (triviale) Massenbilanz, folgt die Raketengleichung

[math]-cI_m=m\dot v[/math] oder [math]-c\dot m=m\dot v[/math]

Man beachte, dass hier der Massenstrom bezüglich der Rakete negativ ist. Den Ausdruck -cI_m nennt man oft auch Schubkraft. Mit dieser Umschreibung kann die Rakete als Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes verkauft werden, was natürlich grober Unfug ist.

Separiert man die Raketengleichung, liefert eine Integration nach der Zeit

[math]v=v_0+\ln\frac{m_0}{m}[/math]