Lösung zu Zwei Gefässe

1. Die Pumpe fördert in drei Stunden 43.2 m³ Wasser über eine Höhe von zehn Meter. Falls die Pumpe ohne Energieverlust arbeitet, ist die Pumparbeit gleich der Änderung der potenziellen Energie einer um 10 m gehobenen Wassermasse von 43.2 t:
   
   [math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} * g * \Delta h = 43'200 kg * 9.81 N/kg * 10 m [/math] = 4.24 MJ.
2. Nach zwei Stunden hat die erste Pumpe 28.8 m³ Wasser ins erste Gefäss hinein und die zweite 7.2 m³ herausgepumpt. Somit beträgt die Zunahme im ersten Gefäss 21.6 m³, was den Spiegel um 5.4 m ansteigen lässt. Im zweiten Reservoir steigt der Spiegel um 3.6 m. Die zweite Pumpe hat demnach bei einer Pumphöhe von 3.6 m + 5 m - 5.4 m = 3.2 m eine Leistung abzugeben, die der des zugehörigen Gravitationsprozesses entspricht:
   
   [math]P = \rho g \Delta h I_V = g \Delta h I_m = 9.81 N/kg * 3.2 m * 2 kg/s = [/math] 62.8 W

Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 14.4 m³ Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 1.4 m auf 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der potenziellen Energie

[math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} g \Delta h[/math] = 0.46 MJ

Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 28 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 100 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 64 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was wiederum 0.46 MJ ergibt.

Aufgabenstellung