Lösung zu Widerstand einer Heizwasserleitung

1. Turbulenz

Berechnen des kritischen Volumenstroms mit Leitungslänge l = 2 m + 6 m = 8 m

[math]R_V = \frac {128 \eta l}{\pi d^4} = \frac {128 * 0.00066 Pas * 8 m}{\pi (0.013 m)^4} = 7.53 * 10^6 Pa/(m^3/s)[/math],

[math]k = \lambda \frac {8 \rho l}{\pi^2d^5}= 0.02 * \frac {8 * 1000 kg/m^3 * 8 m}{\pi^2 * (0.013 m)^5} = 3.49 * 10^{11} Pa/(m^3/s)^2[/math],

[math]I_{Vkrit} = \frac {R_V}{k} = 2.15 * 10^{-5} m^3/s = 1.29 l/min[/math],

Die Strömung ist turbulent, weil der kritische Volumenstrom wesentlich kleiner als der tatsächliche Heizwasserstrom ist.

Fachleute lösen diese Aufgabe mit Hilfe der kritischen Reynolds-Zahl. Diese Zahl erlaubt eine vom Material unabhängige Betrachtungsweise. Eine Rohrströmung schlägt von laminar nach turbulente, sobald die Reynold-Zahl die kritische Grenze von 2300 übersteigt

[math]Re = \frac {4 \rho I_V}{\pi d \eta} = \frac {4 * 1000 kg/m^3 * 0.25 l/s}{\pi * 0.013 m * 0.00066 Pas} = 37'100 \gt 2300 [/math]

Berechnen der Rohrreibungszahl λ nach Blasius

[math]\lambda = \frac {0.3164}{\sqrt[4]{Re}} = 0.0228 [/math]

2. Druckdifferenz

Die totale Druckdifferenz setzt sich aus einem gravitativen und einem resistiven Anteil zusammen:

[math]\Delta p_{R1}=k*I_{V1}^2 = 3.49 * 10^{11} Pa/(m^3/s)^2 * (0.25 l/s)^2[/math] = 21.8 kPa

[math]\Delta p_G=\rho*g*h = 1000 kg/m^3 * 9.81 N/kg * 2 m = [/math] 19.6 kPa

[math]\Delta p_{tot}=\Delta p_G+\Delta p_{R1}[/math] = 41.4 kPa

[math]\Delta p_{R2} = 3.49 * 10^{11} Pa/(m^3/s)^2 * (1.3 * 0.25 l/s)^2[/math] = 36.9 kPa

[math]\Delta p_{tot}[/math] = 56.5 kPa

3. Pumpleistung

Die Gesamtleistung (also Summe aus Gravitations- und Dissipationsprozess) ist:

[math]P_{tot} = (\Delta p_G + \Delta p_{R2}) * I_{V2} = (19.6 kPa + 36.9 kPa) * 1.3 * 0.25 l/s = 6.37 W + 11.99 W = 18.4 W [/math]

Bemerkung: Beim Berechnen der benötigten elektrischen Energie für die Pumpe spielt der gravitative Leistungsanteil jedoch keine Rolle. Das Heizwasser fliesst aus dem oberen Geschoss wieder zur Pumpe zurück und gibt dabei die gravitative Energie wieder ab.

Aufgabe