Lösung zu Abfüllwaage

1. ohne Loch im Becherglas

Die Impulsbilanz bezüglich des Systems Becherglas lautet (positive Richtung nach unten)

[math]{-}F_N + F_G + I_{p2} = 0[/math]

Die Stärke des konvektiven Impulsstromes I_p2 ist gleich

[math]I_{p2} = \rho v_2 I_{V1} = \rho v_2 v_1 A_1 [/math]

Die Geschwindigkeiten beim Ausfluss v₁ und beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche v₂ ergeben sich aus der Energiebilanz (Torricelli)

[math] v_1 = \sqrt{2gh_1} = 4.43 m/s, \quad v_2 = \sqrt{2gh_2} = 5.24 m/s[/math]

Bei einer Fläche A₁ = 0.000'314 m² beträgt der Volumenstrom I_V1 = v₁ * A₁ = 0.00139 m³/s:

Also gilt für den konvektiven Impulsstrom

[math]I_{p2} = 2 g \rho A_1 \sqrt{h_1 h_2}[/math] = 7.29 N

Bei einer totalen Masse von 2 kg + 1000 kg/m³ * 0.2 m * π/4 * (0.1 m)² = 3.57 kg und einer Gewichtskraft von 35.0 N hat die Normalkraft (entspricht der Waagenanzeige) einen momentanen Wert von

[math]F_N = F_G + I_{p2}[/math] = 42.3 N

2. mit Loch im Becherglas

Die Volumenströme I_V1 und I_V3 durch die beiden Ausflusslöcher sind gleich gross, weil der Wasserspiegel im Becherglas auf konstanter Höhe bleibt. Die Geschwindigkeit v₃ im Loch des Becherglases beträgt: [math] v_3 = \sqrt{2gh_3}[/math] = 1.98 m/s. Daraus kann man die Stärke des zweiten konvektiven Impulsstromes im Boden des Becherglases berechnen:

[math]I_{p3} = \rho v_3 I_{V3} = \rho \sqrt{2gh_3} I_{V1} = 2 \rho g \sqrt{h_3 h_1} A_1[/math] = 2.8 N

Aus der Impulsbilanz [math]{-}F_N + F_G + I_{p2} - I_{p3} = 0[/math] erhält man wieder die Festhaltekraft (oder Normalkraft)

[math]F_N = F_G + I_{p2} - I_{p3}[/math] = 39.5 N

Aufgabe