Kondensator entladen

Problemstellung

Ein Kondensator wird zuerst auf eine bestimmte Spannung aufgeladen und dann über einem Widerstand wieder entladen. Beim Entladen fliesst die elektrische Ladung von einem Teil des Kondensators zum andern und setzt dabei über dem Widerstand Energie frei.

Dieser Vorgang kann problemlos ins Flüssigkeitsbild übertragen werden. Dazu denkt man sich den einen Teil des Kondensators geerdet. Dann dürfen der andere Teil des Kondensators und der Widerstand mit einem Gefäss verglichen werden, aus dem eine zähe Flüssigkeit über ein langes Röhrchen ausläuft.

Dynamik

Die Ladungsbilanz bezüglich des einen Teils des Kondensators bildet den Ausgangspunkt unserer Überlegungen

[math]\dot Q = I[/math]

Ersetzt man nun die Änderungsrate der Ladung mit Hilfe des kapazitiven und den Strom über das resistive Gesezt, erhält man die Differentialgleichung für dieses Problem

[math]C \dot U = -\frac {U}{R}[/math] oder [math]RC \dot U + U = 0[/math]

Das Minuszeichen hängt mit den unterschiedlichen Betrachtungsweisen zusammen: Die Ladungsbilanz wird bezüglich des Kondensators aufgestellt, das resistive Gesetz bezieht sich auf den Widerstand.

Die Differentialgleichung besagt, dass die Spannung zur (negativen) Änderungsrate proportional ist. Folglich ist besteht die Lösung in einer abklingenden Exponentialfunktion

[math]U = U_0 e^{-t / \tau}[/math] mit τ = RC

Die exponentielle Abnahme der Spannung über dem Widerstand zieht eine entsprechende Abnahme der Stromstärke nach sich

[math]I = I_0 e^{-t / \tau}[/math] mit I₀ = U₀/R

Entsprechend sinkt auch die Leistung über dem Widerstand

[math]P = P_0 e^{-2t / \tau}[/math] mit P₀ = U₀ I₀ = U₀² / R = R I₀²