Lösung zu Achterbahn: Unterschied zwischen den Versionen

 
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#Die Geschwindigkeit ergibt sich direkt aus der Energiebilanz <math>W_{tot} = mgh + 0 = 0 + \frac {m}{2}v^2</math> (hier ist die Gravitationsenergie beim tiefsten Punkt gleich Null gesetzt worden). Die Geschwindigkeit ist also gleich <math>v = \sqrt{2gh}</math> = 26.6 m/s = 95.7 km/h. Laut verschiedenen Quellen bei dieser Bahn wird eine Geschwindigkeit von etwa 80 km/h bis 85 km/h erreicht.
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#Die Geschwindigkeit ergibt sich direkt aus der Energiebilanz <math>W_{tot} = mgh + 0 = 0 + \frac {m}{2}v^2</math> (hier ist die Gravitationsenergie beim tiefsten Punkt gleich Null gesetzt worden). Die Geschwindigkeit ist also gleich <math>v = \sqrt{2gh}</math> = 26.6 m/s = 95.7 km/h. Laut verschiedenen Quellen soll die hier diskutierte Bahn (Boomerang oder Cobra Roll) eine Geschwindigkeit von etwa 80 km/h bis 85 km/h erreichen.
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#Am tiefsten Punkt der Bahn ist die Geschwindigkeit des Schlittens am grössten und die Normalbeschleunigung zeigt vertikal nach oben. Nun baut sich im Schlitten ein Gravitationsfeld auf, das sich aus dem Gravitationsfeld der Erde und einem [[Trägheitsfeld]] zusammensetzt. Die Stärke des Trägheitsfeldes ist gleich dem negativen Wert der Beschleunigung des Schlittens (weil sich der Schlitten synchron mitdreht, handelt es sich eigentlich nicht um ein homogenes Feld sondern um ein zylindersymmetrisches [[rotierendes Bezugssystem|Zentrifugalfeld]]). Auf einer [[Kreisbahn]] ist die Beschleunigung gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist. Somit gilt <math>g' = g + g_t = g + \frac {v^2}{r} = 5 g</math>. Also darf der Radius nicht grösser als <math>r = \frac {v^2}{4g} = \frac {h}{2}</math> =18 m sein. Infolge der Reibung darf der minimale Radius etwas kleiner gemacht werden.
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#Am tiefsten Punkt der Bahn ist die Geschwindigkeit des Schlittens am grössten und die Normalbeschleunigung zeigt vertikal nach oben. Das Gravitationsfeld im Schlitten setzt sich aus dem Gravitationsfeld der Erde und einem [[Trägheitsfeld]] zusammen. Die Stärke des Trägheitsfeldes ist gleich dem negativen Wert der Beschleunigung des Schlittens bezüglich der Erdoberfläche (weil sich der Schlitten synchron mitdreht, handelt es sich eigentlich nicht um ein homogenes Feld sondern um ein zylindersymmetrisches [[rotierendes Bezugssystem|Zentrifugalfeld]]). Auf einer [[Kreisbewegung|Kreisbahn]] ist die Normalbeschleunigung gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius. Somit gilt <math>g' = g + g_t = g + \frac {v^2}{r} = 5 g</math>. Der Radius darf also nicht kleiner als <math>r = \frac {v^2}{4g} = \frac {h}{2}</math> =18 m sein. Infolge der Reibung und der damit verbundenen Geschwindigkeitsminderung kann der minimale Radius etwas kleiner gemacht werden.
   
 
Leider werden die Begriffe Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung oft vermischt.
 
Leider werden die Begriffe Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung oft vermischt.
 
*Eine Feldstärke ist eine rein statischer Grösse, welche die Intensität eines Feldes an einem bestimmten Ort beschreibt.
 
*Eine Feldstärke ist eine rein statischer Grösse, welche die Intensität eines Feldes an einem bestimmten Ort beschreibt.
 
*Ein Beschleunigung ist eine Änderungsrate der Geschwindigkeit (Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit). Als Ursache für einer Beschleunigung kommen irgendwelche [[Kraft|Kräfte]] in Frage.
  
*Ein Beschleunigung ist eine Änderungsrate der Geschwindigkeit (Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit). Als Ursache für einer Beschleunigung kommen irgendwelche [[Kraft|Kräfte]] in Frage.
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*Wirkt nur die Gewichts- oder Gravitationskraft auf einen Körper ein (Wurf, Satellit), heben sich die schwere und die träge [[Masse]] weg und die Beschleunigung des Objekts ist gleich der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke.
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*Wirkt nur die Gewichts- oder Gravitationskraft auf einen Körper ein (Wurf, Satellit), ist die Beschleunigung des Objekts immer proportional zu der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke.
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*Setzt man die schwere [[Masse]] (eine Art [[elektrische Ladung|Ladung]] in Bezug auf das Gravitationsfeld) gleich der trägen ([[Impuls]]kapazität) Masse, können beide Grössen mit der gleichen Einheit gemessen werden (1 N/kg = 1 m/s<sup>2</sup>)
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*Setzt man die schwere [[Masse]] (eine Art [[elektrische Ladung|Ladung]] in Bezug auf das Gravitationsfeld) gleich der trägen Masse ([[Impuls]]kapazität), werden Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung mit der gleichen Einheit gemessen (1 N/kg = 1 m/s<sup>2</sup>)
   
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Wir halten uns in dieser Beziehung an Albert Einstein, der mit seiner Allgemeine Relativitätstheorie gezeigt hat, dass Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung wie die beiden Seiten einer Münze zusammengehören:
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Wir halten uns nun an Albert Einstein, der mit seiner Allgemeine Relativitätstheorie gezeigt hat, dass Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung wie die beiden Seiten einer Münze zusammengehören:
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*Die Beschleunigung eines zweiten [[Bezugssystem|Bezugssystems]] gegen ein erstes ergibt im zweiten ein zusätzliches [[Trägheitsfeld]], dessen Stärke gleich dem Negativwert dieser Beschleunigung ist. Im zweiten System ist das Trägheitsfeld mit dem Gravitationsfeld des ersten zu superponieren.
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*Ist ein zweites [[Bezugssystem]] gegen ein erstes beschleunigt, baut sich im zweiten System ein '''zusätzliches [[Trägheitsfeld]]''' auf, dessen Stärke gleich dem '''Negativwert der Beschleunigung''' des zweiten Systems (gegen das erste) ist.
   
 
'''[[Achterbahn|Aufgabe]]'''
  
'''[[Achterbahn|Aufgabe]]'''

Version vom 3. Februar 2007, 09:49 Uhr

  1. Die Geschwindigkeit ergibt sich direkt aus der Energiebilanz [math]W_{tot} = mgh + 0 = 0 + \frac {m}{2}v^2[/math] (hier ist die Gravitationsenergie beim tiefsten Punkt gleich Null gesetzt worden). Die Geschwindigkeit ist also gleich [math]v = \sqrt{2gh}[/math] = 26.6 m/s = 95.7 km/h. Laut verschiedenen Quellen soll die hier diskutierte Bahn (Boomerang oder Cobra Roll) eine Geschwindigkeit von etwa 80 km/h bis 85 km/h erreichen.
  2. Am tiefsten Punkt der Bahn ist die Geschwindigkeit des Schlittens am grössten und die Normalbeschleunigung zeigt vertikal nach oben. Das Gravitationsfeld im Schlitten setzt sich aus dem Gravitationsfeld der Erde und einem Trägheitsfeld zusammen. Die Stärke des Trägheitsfeldes ist gleich dem negativen Wert der Beschleunigung des Schlittens bezüglich der Erdoberfläche (weil sich der Schlitten synchron mitdreht, handelt es sich eigentlich nicht um ein homogenes Feld sondern um ein zylindersymmetrisches Zentrifugalfeld). Auf einer Kreisbahn ist die Normalbeschleunigung gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius. Somit gilt [math]g' = g + g_t = g + \frac {v^2}{r} = 5 g[/math]. Der Radius darf also nicht kleiner als [math]r = \frac {v^2}{4g} = \frac {h}{2}[/math] =18 m sein. Infolge der Reibung und der damit verbundenen Geschwindigkeitsminderung kann der minimale Radius etwas kleiner gemacht werden.

Leider werden die Begriffe Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung oft vermischt.

  • Eine Feldstärke ist eine rein statischer Grösse, welche die Intensität eines Feldes an einem bestimmten Ort beschreibt.
  • Ein Beschleunigung ist eine Änderungsrate der Geschwindigkeit (Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit). Als Ursache für einer Beschleunigung kommen irgendwelche Kräfte in Frage.
  • Wirkt nur die Gewichts- oder Gravitationskraft auf einen Körper ein (Wurf, Satellit), ist die Beschleunigung des Objekts immer proportional zu der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke.
  • Setzt man die schwere Masse (eine Art Ladung in Bezug auf das Gravitationsfeld) gleich der trägen Masse (Impulskapazität), werden Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung mit der gleichen Einheit gemessen (1 N/kg = 1 m/s2)

Wir halten uns nun an Albert Einstein, der mit seiner Allgemeine Relativitätstheorie gezeigt hat, dass Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung wie die beiden Seiten einer Münze zusammengehören:

  • Ist ein zweites Bezugssystem gegen ein erstes beschleunigt, baut sich im zweiten System ein zusätzliches Trägheitsfeld auf, dessen Stärke gleich dem Negativwert der Beschleunigung des zweiten Systems (gegen das erste) ist.

Aufgabe

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