Lösung zu Achterbahn

1. Die Geschwindigkeit ergibt sich direkt aus der Energiebilanz [math]W_{tot} = W_{oben} = mgh + 0 = W_{unten} = 0 + \frac {m}{2}v^2[/math] (hier ist die Gravitationsenergie beim tiefsten Punkt gleich Null gesetzt worden; g = 9.81 N/kg). Die Geschwindigkeit ist also gleich [math] v = \sqrt{2gh}[/math] = 26.6 m/s = 95.7 km/h. Laut verschiedenen Quellen soll die hier diskutierte Bahn (Boomerang oder Cobra Roll) eine Geschwindigkeit von etwa 80 km/h bis 85 km/h erreichen.
2. Am tiefsten Punkt der Bahn ist die Geschwindigkeit des Schlittens am grössten und der Vektor der Normalbeschleunigung zeigt vertikal nach oben. Das Gravitationsfeld im Schlitten setzt sich aus dem Gravitationsfeld der Erde und einem Trägheitsfeld zusammen. Der Vektor des Trägheitsfeldes ist gleich dem negativen Beschleunigungsvektor des Schlittens bezüglich der Erdoberfläche (weil sich der Schlitten synchron mitdreht, handelt es sich eigentlich nicht um ein homogenes Feld sondern um ein zylindersymmetrisches Zentrifugalfeld). Der Vektor des Trägheitsfeldes zeigt also nach unten, d. h. in die gleiche Richtung wie das gewöhnliche Gravitationsfeld der Erde. Auf einer Kreisbahn ist der Betrag der Normalbeschleunigung gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius. Somit gilt [math]g' = g + g_t = g + \frac {v^2}{r} = 5 g[/math]. Der Radius darf also nicht kleiner als [math]r = \frac {v^2}{4g} = \frac {2gh}{4g} = \frac {h}{2}[/math] = 18 m sein. Infolge der Reibung und der damit verbundenen Geschwindigkeitsminderung kann der minimale Radius etwas kleiner gemacht werden.

Leider werden die Begriffe Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung oft vermischt.

• Eine Feldstärke ist eine rein statische Grösse, welche die Intensität eines Feldes an einem bestimmten Ort beschreibt.
• Eine Beschleunigung ist eine Änderungsrate der Geschwindigkeit (Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit). Als Ursache für eine Beschleunigung kommen irgendwelche Kräfte in Frage.
• Wirkt nur die Gewichts- oder Gravitationskraft auf einen Körper ein (Wurf, Satellit), ist die Beschleunigung des Objekts immer proportional zu der dort herrschenden Gravitationsfeldstärke.
• Setzt man die schwere Masse (eine Art Ladung in Bezug auf das Gravitationsfeld) gleich der trägen Masse (Impulskapazität), werden Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung mit der gleichen Einheit gemessen (1 N/kg = 1 m/s²).

Wir halten uns nun an Albert Einstein, der mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie gezeigt hat, dass Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung wie die beiden Seiten einer Münze zusammengehören:

• Ist ein zweites Bezugssystem gegen ein erstes beschleunigt, baut sich im zweiten System ein zusätzliches Trägheitsfeld auf, dessen Stärke gleich dem Negativwert der Beschleunigung des zweiten Systems (gegen das erste) ist.

Aufgabe