Lösung zu Aviatik 2007/4

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Für jede Aufgabe werden maximal vier Punkte vergeben. Fehlende Einheiten, falsch gesetzte Kommas und einfache Rechenfehler führen zu einem Abzug von 0.25 Punkten. Formeln, die nach dem Zufallsprinzip hingeschrieben werden und nicht zur Lösung führen, werden nicht bewertet.

Lösung zu Aufgabe 1

1.) Das Triebwerk lädt Impuls von der Luft auf das Flugzeug um. Die Impulsbilanz bezüglich des stationär laufenden Triebwerks lautet (Flugrichtung positiv)

[math]-F_S+v_1I_{m1}+v_2I_{m2}=\dot p=0[/math]

Setzt man die beiden Massenströme gleich und nimmt die Beträge der Geschwindigkeiten, erhält man die einfache Formel

[math]F_S=(v_2-v_1)I_m[/math]

Diese Formel liefert eine Ausströmgeschwindigkeit von 300 m/s.

2.) Die Schubkraft ergibt sich aus der Impulsänderung zweier Teilströme

[math]F=(v_{2K}-v_1)\frac{I_m}{5}+(v_{2M}-v_1)\frac{4I_m}{5}[/math]

Löst man diese Beziehung nach der Geschwindigkeit des Mantelstromes auf, erhält man einen Wert von 287.5 m/s.

3.) Die vom Triebwerk an die beiden Teilströme abgegebene Leistung ist gleich

[math]P=P_1+P_2=\frac 12 (v_{2K}^2-v_1^2)\frac{I_m}{5}+\frac 12 (v_{2M}^2-v_1^2)\frac{4I_m}{5}[/math] = 11.25 MW

Würde der gesamte Gassstrom mit 300 m/s austreten, betrüge die Leistung nur 11 MW.

4.) Die Leistung einer Kraft ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit. Dies ergibt sich aus der grundlegenden Zusammenhang zwischen leitungsartigem Impulsstrom und zugeordnetem Energiestrom. Weil hier Kraft und Geschwindigkeit kollinear sind, ist die Leistung einfach zu berechnen

[math]P(F)=Fv_1[/math] = 10 MW

Lösung zu Aufgabe 2

Eine Wärmepumpe fördert Entropie aus einem kalten Gebiet in ein wärmeres. Dabei wird in der Regel zusätzlich Entropie erzeugt.

1.) Im stationären Betrieb ist der abgegebene thermische Energiestrom gleich dem aufgenommenen plus die Prozessleistung. Aus diesem Knotensatz bezüglich der Energieströme folgt

[math]I_{W1}=I_{W2}-P[/math] = 20 kW - 5.5 kW = 14.5 kW

2.) Die thermischen Energieströme werden von den Entropieströmen über die Systemgrenze getragen. Aus dieser Trägerrelation ([math]I_W=TI_S[/math]) folgen die Werte für die Stärken der beiden Entropieströme:

58.3 W/K und 51.2 W/K.

3.) Multipliziert man die Entropieproduktionsrate, die gleich der Differenz der beiden Entropieströme ist, mit der Zahl der Sekunden eines Tages, erhält man die gesamte Produktion von 611 kJ/K.

4.) Eine ideale Wärmepumpe muss den erforderlichen Entropiestrom von 58.3 W/K über eine "Temperaturhürde" von 60 K pumpen. Dazu benötigt sie folgende [[Prozessleistung]

[math]P=\Delta TI_S[/math] = 3.5 kW

Lösung zu Aufgabe 3

Die zum Aufheizen von Wasser benötigte Entropie wird heute meist vor Ort produziert. Die Aufgabe vergleicht diese "Energie verschwendende Art" mit dem heute Machbaren sowie dem theoretischen Grenzfall.

1.) Die Heizenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie

[math]W_{el}=\Delta H = mc\Delta T[/math] = 83.8 kJ

2.) Die Entropieproduktion entspricht der Entropieänderung des Wassers

[math]S_{Prod}=\Delta S = mc\ln\frac{T_2}{T_1}[/math] = 268.1 kJ/K

3.) Die Entropie muss auf 343 K hoch gepumpt werden und die von der Wärmepumpe abgegebene Energie ist gleich der Enthalpieänderung des Wassers

[math]S_{Pump}=\frac{\Delta H}{343 K}[/math] = 244.3 KJ/K

[math]W_{Pump}=S_{Pump}\cdot 60K[/math] = 14.66 kJ

4.) Die Pumpenergie ist gleich der Enthalpieänderung minus die von der Umwelt bezogene thermische Energie. Weil der ganze Prozess reversibel geführt wird, entspricht die von der Umwelt bezogene Entropie der Entropieänderung des Wassers

[math]W=\Delta H-\Delta ST_{Umg}[/math] =83.8 MJ - 268.1 kJ/K*293 K = 5.25 MJ

Lösung zu Aufgabe 4

1.) Im T-S-Diagramm setzt sich der Kreisprozess aus folgenden Linien zusammen

isentrope als vertikale Linie
isobare als flache Exponentialfunktion
isochore als steile Exponentialfunktion

Im p-V-Diagramm erscheint dieser Kreisprozess als Abfolge einer Potenzfunktion (-κ als Exponent), einer horizontalen und einer vertikalen Linie.

2.) Die Temperatur nach dem isentropen Prozess ist gleich

[math]T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}[/math] = 445.8 K (172.8°C)

Nach dem isobaren Heizen ist die Temperatur viermal grösser als die Anfangstemperatur, also 1200 K (927°C), weil der Druck bei gleichem Volumen auf das Vierfache gestiegen ist.

3.) Die mechanisch zugeführte Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie

[math]W_{mech}=\Delta W=n\hat c_V\Delta T = \frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T[/math] = 2430 J mit [math]n=\frac{p_1V_1}{RT_1}[/math] = 0.8019 mol und [math]\hat c_V =\frac 52 R[/math]

4.) Die isochor abgeführte Entropie ist gleich der isobar zugeführten

[math]S_{ab}=\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_1}{T_2}=\frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\ln\frac{T_1}{T_2}[/math] = -23.1 J/K

Lösung zu Aufgabe 5

Diese Aufgabe kann im Flüssigkeitsbild Schritt für Schritt nachvollzogen werden. In der ersten Phase wird der Satellit auf ein Frequenz von 0.5 Hz hoch gefahren, was einer Winkelgeschwindigkeit von 3.14 s^-1 entspricht. In dieser Zeit geht die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades auf -47.12 s^-1 zurück. In der zweiten Phase behält der Satellit seine Winkelgeschwindigkeit bei, vergrössert aber sein Massenträgheitsmoment. Die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades nimmt auf -62.83 s^-1 ab. Weil der totale Drehimpuls mangels Zu- und Abflüssen konstant gleich Null sein muss, ist das Massenträgheitsmoment des Satelliten um das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit von Schwungrad zu Satellit grösser als das des Rades: J₁ = 750 kgms² und J₂ = 1000 kgms²

1.) Die aufzuwendende Energie ist gleich gepumpter Drehimpuls mal mittlere Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten

[math]W=\Delta L \Delta \overline{\omega}[/math] = 2356.2 Nms*25.13 s^-1 = 59.2 kJ

2.) Die Überlegung bleibt sich gleich, nur verändert der Satellit seine Winkelgeschwindigkeit nicht

[math]W=\Delta L \Delta \overline{\omega}[/math] = 785.4 Nms*58.12 s^-1 = 45.65 kJ

3.) Diesmal wird die Energie frei gesetzt

[math]W=\Delta L \Delta \overline{\omega}[/math] = 3141.6 Nms*33.99 s^-1 = 103.6 kJ

4.) Der Antrieb hat 1.23 kJ mehr Energie aufgewendet, als beim Bremsen wieder frei gesetzt worden ist. Der Unterschied ist beim Ausfahren der Solarpanel aus dem mechanischen System Satellit und Schwungrad "abgeflossen". Die Solarpanel müssen nämlich beim Ausfahren richtiggehend gebremst werden.

Lösung zu Aufgabe 6

Systemdiagramm
Temperaturverlauf
Energie- und Entropiestrom
Entropieproduktionsrate

Die Bildfolge zeigt das Systemdiagramm, den Temperaturverlauf, die abfliessenden Ströme sowie die Entropieproduktionsrate während 24 Stunden. In den ersten 4 Stunden wird mit 6 kW geheizt (Entropie produziert). Obwohl die Heizleistung konstant ist, nimmt die Entropieproduktion ab. Dies hat mit der steigenden Temperatur des Wassers zu tun: je höher die Temperatur, desto weniger Entropie wird bei gleicher Energie produziert.

Der Leitwert berechnet sich aus dem Energiestrom und dem mittleren Temperaturgefälle. Der Energiestrom ist hier vereinfacht gerechnet gleich der Energieänderung durch die benötigte Zeit

[math]G_W=\frac{I_W}{\Delta T}=\frac{\Delta W}{\Delta t\Delta T}=\frac{mc\Delta T_W}{\Delta t\Delta T}[/math] = 1.18 W/K

Beachten Sie, dass in dieser Gleichung mit Δ zweimal eine zeitliche und einmal eine räumliche Differenz gemeint ist.

Bei ausgeschalteter Heizung wird nur längs des Wärmetransportes Entropie produziert

[math]\Pi_S=I_{S2}-I_{S1}=I_W\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)[/math] = 0.0195 W/K

Aufgabe