Lösung zu Fallende Kugel: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Der [[statischer Auftrieb|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. |
+ | Der [[statischer Auftrieb|statische Auftrieb]] wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist. |
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| ⚫ | #Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\ |
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| + | Kugelvolumen und -projektionsfläche: <math>V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = \pi r^2</math>. |
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| − | #Die Beschleunigung ist: <math>a = \dot p / m = (F_G-F_W) / m = g - \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A / m </math> <math>a = g - \frac {\rho_L A} {2 \rho V} v^2 c_W = g - \frac {3 \rho_L} {2 \rho r} c_W v^2</math>. Bei der halben Endgeschwindigkeit beträgt der Luftwiderstand erst ein Viertel der Endgeschwindigkeit. Die resultierende Kraft beträgt folglich 75% der Gewichtskraft und die Beschleunigung beträgt 7.36 m/s<sup>2</sup>. |
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| ⚫ | #Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der [[Impuls]] der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. <math>\dot p = 0</math>. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der [[Strömungswiderstand]] halten die Kugel im Gleichgewicht <math>F_G-F_W=0</math>. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also <math>F_G =\rho V g</math>, sowie den [[Strömungswiderstand|Luftwiderstand]] durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich <math>F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A</math>. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: <math>v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho_{Kugel}}{\rho_L}r}</math> = 175.8 m/s. |
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| − | #Weil das Verhältnis von Dichte des Materials zu Dichte der Luft 15 mal kleiner geworden ist, muss der Durchmesser 15 mal grösser, also 1.5 m gross, gewählt werden. |
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| + | #Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft): <math> F_W = F_G/4</math>. Die resultierende Kraft <math>F_{res} = F_G-F_W = F_G-(F_G/4) = 0.75 F_G </math> beträgt folglich 75% der Gewichtskraft. Die Beschleunigung ist <math> a = F_{res}/m = 0.75 F_G / m = 0.75 * g = </math> 7.36 m/s<sup>2</sup>. |
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| + | #In der Formel für die Endgeschwindigkeit bleibt der Wert der Wurzel derselbe, wenn wir den Radius um den gleichen Faktor vergrössern, wie die Kugeldichte verkleinert wurde. Der Radius der Holzkugel ist also: <math>r_{Holz} = \rho_{Blei} / \rho_{Holz} \cdot r_{Blei}</math>. Das Verhältnis der Materialdichten ist 15, der Durchmesser wird also 1.5 m. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die gegebenen Werte ein. |
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'''[[Fallende Kugel|Aufgabe]]''' |
'''[[Fallende Kugel|Aufgabe]]''' |
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Aktuelle Version vom 12. Februar 2010, 10:18 Uhr
Der statische Auftrieb wird vernachlässigt, weil dieser kaum ins Gewicht fällt und in der Dichte eines Stoffes schon berücksichtigt ist.
Kugelvolumen und -projektionsfläche: [math]V = \frac {4 \pi} {3} r^3, A = \pi r^2[/math].
- Die Endgeschwindigkeit ist erreicht, wenn der Impuls der Kugel nicht mehr zunimmt, d.h. [math]\dot p = 0[/math]. Dann sind die Impulsströme gleich: Der gravitativ zufliessende Impuls wird vollständig an die Luft abgeleitet. Die Gewichtskraft und der Strömungswiderstand halten die Kugel im Gleichgewicht [math]F_G-F_W=0[/math]. Man ersetzt die Gewichtskraft durch das Produkt aus Dichte des Materials, Volumen der Kugel und Gravitationsfeldstärke, also [math]F_G =\rho V g[/math], sowie den Luftwiderstand durch die entsprechenden Einflussgrössen, nämlich [math]F_W = \frac {1} {2} \rho_L v^2 c_W A[/math]. Nun löst man die erhaltene Gleichung nach v auf und gewinnt eine Formel für die Endgeschwindigkeit: [math]v = \sqrt {\frac {8 g}{3 c_W} \frac {\rho_{Kugel}}{\rho_L}r}[/math] = 175.8 m/s.
- Weil der Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, beträgt er bei der halben Endgeschwindigkeit erst ein Viertel seines Endwertes (Der Endwert des Widerstands ist so gross wie die Gewichtskraft): [math] F_W = F_G/4[/math]. Die resultierende Kraft [math]F_{res} = F_G-F_W = F_G-(F_G/4) = 0.75 F_G [/math] beträgt folglich 75% der Gewichtskraft. Die Beschleunigung ist [math] a = F_{res}/m = 0.75 F_G / m = 0.75 * g = [/math] 7.36 m/s2.
- In der Formel für die Endgeschwindigkeit bleibt der Wert der Wurzel derselbe, wenn wir den Radius um den gleichen Faktor vergrössern, wie die Kugeldichte verkleinert wurde. Der Radius der Holzkugel ist also: [math]r_{Holz} = \rho_{Blei} / \rho_{Holz} \cdot r_{Blei}[/math]. Das Verhältnis der Materialdichten ist 15, der Durchmesser wird also 1.5 m. Oder lösen Sie die Formel für die Endgeschwindigkeit nach dem Radius auf und setzen Sie die gegebenen Werte ein.