Lösung zu Impuls und Flüssigkeitsbild: Unterschied zwischen den Versionen

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In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird
 
In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird
   
<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'=</math>.
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<math>W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'</math>.
   
 
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Version vom 3. November 2014, 13:04 Uhr

Aufgabe 1

Ip_vs_t_-_Fluessigkeitsbild.png

Grössen mit einem [math]'[/math] (z.B. [math]\Delta p_1'[/math]) beziehen sich auf die erste Stossphase, Grössen mit [math]''[/math] beziehen sich auf die zweite Stossphase.

Aufgabe2

Der Impulsinhalt des ersten Wagens wird

[math]p_1=m_1 v_1=60\cdot 10^3 kg \cdot 5~m/s=3\cdot 10^5~Ns[/math],

und da der zweite Wagen stillsteht wird [math]p_2=0[/math].

Beide Wagen zusammen speichern den Impuls

[math]p_{ges}=p_1+p_2=3\cdot 10^5 Ns + 0 = 3\cdot 10^5 Ns[/math]

und haben die Gesamtmasse

[math]m_{ges}=m_1+m_2=100~t[/math].

Die gemeinsame Geschwindigkeit wird

[math]v_g=\frac{p_{ges}}{m_{ges}}=\frac{3\cdot 10^5 Ns}{100\cdot 10^3 kg}=3~m/s[/math].

Aufgabe 3

In der ersten Stossphase gibt Wagen ein den Impuls

[math]\Delta p\prime=I_{p,max}\Delta t'[/math]

an den zweiten Wagen ab. Aus dem Flüssigkeitsbild ergibt sich für

[math]\Delta p\prime=\Delta v\cdot m_1=(v_1-v_g)m_1[/math].

Setzt man diese beiden Gleichungen einander gleich, ergibt sich für

[math]\Delta t'=\frac{(v_1-v_g)m_1}{I_{p,max}}=\frac{2~m\cdot 6\cdot 10^4 kg~s^2}{s~12\cdot 10^5 kg~m}=0.1~s[/math].

Aufgabe 4

Aus

[math]I_{p,max}=F=m\cdot a[/math]

folgt

[math]a_1=\frac{I_{p,max}}{m_1}=\frac{12\cdot 10^5~N}{60\cdot 10^3~kg}=20~m/s^2[/math] (Wagen wird abgebremst, also ist [math]a_1[/math] eigentlich negativ da [math]I_{p,max}[/math] in die negative Bezugsrichtung fliesst),

und analog dazu wird [math]a_2=30~m/s^2[/math].

Aufgabe 5

In der zweiten Stossphase gibt Wagen 1 den Impuls

[math]\Delta p''=1/2\cdot I_{p,max}\cdot \Delta t'=0.5\cdot 1200~kN\cdot 0.1~s=60~kNs[/math]

ab. Der erste Wagen enthält daher noch

[math]p_1''=p_1-\Delta p_1'-\Delta p_1''=3\cdot 10^5~Ns-1.2\cdot 10^5~Ns-0.6\cdot 10^5~Ns=1.2\cdot 10^5~Ns[/math].

Daraus folgt

[math]v_1''=\frac{p_1''}{m_1}=\frac{1.2\cdot 10^5~Ns}{6\cdot 10^4~kg}=2~m/s[/math].

Analog dazu wird

[math]p_2''=0+\Delta p_1'+\Delta p_1''=1.8\cdot 10^5~Ns[/math]

und

[math]v_2''=p_2''/m_2=4.5~m/s[/math].

Aufgabe 6

Aus [math]s=\frac{a}{2}t^2[/math] kann der Maximalhub eines Puffers berechnet werden. Zu beachten ist der Wert für [math]a[/math]: [math]a_1, a_2[/math] sind auf einen externen Beobachter bezogen, und zur Berechnung des Maximalhubs ist die relative Beschleunigung zwischen den Wagen ausschlaggebend. Daher wird [math]a=a_1+a_2[/math], und der Maximalhub eines Puffers

[math]s=\frac{1}{2} \frac{a_1+a_2}{2}\Delta t'^2=\frac{1}{2} \frac{(20+30)m}{s~2} 0.1^2 s^2=0.125~m[/math].

Aufgabe 7

Zur Abschätzung des Hubes beim Ausfahren der Puffer hilft das [math]v(t)[/math] Diagramm.

v-t-Diagramm.png

Die Geschwindigkeiten [math]v_g, v_1'', v_2''[/math] sind bekannt. Der Verlauf der Geschwindigkeiten in der zweiten Stossphase werden nicht linear sein, sondern quadratisch. Die Fläche unter der [math]v(t)[/math] Kurve entspricht dem Hub. Nähert man die Fläche mit zwei Dreiecken an, ergibt sich für den Hub beim Ausfahren eines Puffers

[math]s=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_2''-v_g) + \frac{1}{2}\Delta t''\cdot (v_g-v_1'')\right ]=\frac{1}{4}\cdot 0.1\cdot(1.5+2)=0.0875~m[/math].

Die exakte Lösung [math](s=0.083~m)[/math] kann z.B. mit diesem Berkeley-Madonna Modell berechnet werden.

Aufgabe 8

In der ersten Stossphase nehmen die Puffer

[math]W_{ges}=P(F)\cdot \Delta t'[/math]

auf. Mit

[math]P(F)=I_p\cdot \Delta v[/math]

folgt

[math]W_{ges}=I_{p,max}\cdot \Delta v \cdot \Delta t'[/math].

Nachdem sich [math]\Delta v[/math] während des Stosses ändert, muss die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz verwendet werden:

[math]\Delta \bar{v}=\frac{\Delta v_{Anfang}+\Delta v_{Ende}}{2}=\frac{(v_1-v_2)+0}{2}=\frac{5}{2}~\frac{m}{s}[/math].

Daraus folgt für die Energieaufnahme eines Puffers

[math]W'=\frac{1}{4}W_{ges}=\frac{1}{4}12\cdot 10^5~N\cdot2.5~\frac{m}{s}\cdot 0.1~s=75~kJ[/math].

In der zweiten Stossphase ändert sich auch der Impulsstrom, und die von einem Puffer abgegebene Energie wird

[math]W''=\frac{1}{4}\bar{I_p}\cdot \Delta \bar{v}\cdot \Delta t'[/math].

Mit

[math]\Delta \bar{v}=\frac{0+(v_2''-v_1'')}{2}=\frac{4.5-2}{2}\frac{m}{s}=1.25~m/s[/math]

und

[math]\bar{I_p}=\frac{1}{2}I_{p,max}[/math]

folgt

[math]W''=\frac{1}{4}\frac{12\cdot 10^5~N}{2}\cdot 1.25 \frac{m}{s}\cdot 0.1~s=18.75~kJ[/math].


Aufgabe