Lösung zu Kühlen von Wasser: Unterschied zwischen den Versionen

 
(11 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
  +
==== Antwort 1 ====
#Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta h = c (T_s - T_v) - q</math> = 4.19 kJ/kg/K * (273 K - 373 K) - 334 kJ/kg = -753 kJ/kg. Die [[Wärmepumpe]] transportiert diese [[Energie]] zusammen mit der spezifischen [[Entropie]] <math>s = \frac {-\Delta h}{T_K}</math> = 3.10 kJ / (kg K) reversibel von der tiefen Temperatur T<sub>K</sub> = 243 K auf die hohe Temperatur T<sub>W</sub> = 323 K. Dafür muss die Pumpe pro Kilogramm mindestens eine Energie W<sub>WP</sub> = (T<sub>W</sub> - T<sub>K</sub>) * s = 248 kJ aufwenden.
 
  +
Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen [[Enthalpie]] des Wassers
#Eine solche Maschine müsste zuerst als reversible Wärmekraftmaschine und dann als reversible Wärmepumpe arbeiten. Im ersten Teil des Prozesses würde sie Entropie vom Wasser bei seiner höheren Temperatur reversibel entnehmen und der Umgebung bei ihrer tieferen Temperatur abgeben. Die dabei als Arbeit freigesetzte Energie müsste man in einem zusätzlichen Speicher zwischenspeichern können. Mit dieser gespeicherten Energie würde die Maschine im zweiten Teil des Prozesses als reversible Wärmepumpe Entropie des zu kühlenden Wassers auf die Umgebungstemperatur hochpumpen. In beiden Prozessteilen würde die Maschine also mit dem zu kühlenden Wasser und der Umgebungstemperatur als Wärmereservoire arbeiten. Beim Gesamtprozess nimmt die spezifische Entropie des Wassers um <math>\Delta s = c \ln(T_s/T_v) - q/T_s</math> = 4.19 kJ/kg/k * ln(273 K / 373 K) - 334 kJ/kg / 273 K = - 2.53 kJ/kg/K ab. Weil beide Prozessteile reversibel sind, transportiert die Entropie deshalb eine spezifische Energie w<sub>u</sub> = T<sub>u</sub> * -&Delta;s = 298 K * 2.53 kJ/kg/K = 754 kJ/kg Energie in die Umgebung, welche ja eine konstante Temperatur von (T<sub>u</sub> = 298 K) hat. Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie (siehe Teilaufgabe 1), ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als [[Wärmekraftmaschine]], bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral.
 
  +
  +
:<math>\Delta h = c (T_s - T_v) - q</math> = 4.19 kJ/kg/K * (273 K - 373 K) - 334 kJ/kg = -753 kJ/kg
  +
 
Die [[Wärmepumpe]] transportiert diese [[Energie]] zusammen mit der spezifischen [[Entropie]] <math>s = \frac {-\Delta h}{T_K}</math> = 3.10 kJ/kg/K reversibel von der tiefen Temperatur T<sub>K</sub> = 243 K auf die hohe Temperatur T<sub>W</sub> = 323 K. Dafür muss die Pumpe mindestens eine spezifische Energie W<sub>WP</sub> aufwenden:
  +
:W<sub>WP</sub> = (T<sub>W</sub> - T<sub>K</sub>) * s = 248 kJ/kg.
  +
  +
  +
==== Antwort 2 ====
  +
Eine solche Maschine müsste zuerst als reversible [[Wärmekraftmaschine]] (WKM) zwischen Wasser als Wärmereservoir der hohen Temperatur und der Umgebung als Reservoir der tiefen Temperatur arbeiten und dabei das Wasser bis zur Umgebungstemperatur abkühlen. Anschliessend müsste sie als reversible [[Wärmepumpe]] (WP) zwischen dem Wasser als tiefem Reservoir und der Umgebung als hohem Reservoir arbeiten und dabei das Wasser weiter bis zum Gefrierpunkt abkühlen und zusätzlich noch gefrieren.
  +
  +
Im ersten Teil des Prozesses kühlt die Maschine als WKM das Wasser von 373 K auf die Umgebungstemperatur von 298 K ab. Dabei wird eine spezifische Entropie ''s<sub>1</sub>'' vom Wasser in die Umgebung transportiert, die der spezifischen Entropieabnahme ''&Delta;s<sub>1</sub>'' des Wassers entspricht:
  +
  +
:''s<sub>1</sub>'' = - ''&Delta;s<sub>1</sub>'' = - 4.19 kJ/kg/K * ln(298 K / 373 K) = 0.941 kJ/kg/K.
  +
  +
Die dabei als Arbeit freigesetzte Energie ''w<sub>1</sub>'' entspricht der Differenz zwischen der dem Wasser entnommenen und der der Umgebung zugeführten Energie. Die freigesetzte spezifische Energie ''w<sub>1</sub>'' ist demnach gleich
  +
  +
:''w<sub>1</sub>'' = - ''&Delta;h<sub>1</sub> - s<sub>1</sub> * T<sub>U</sub>'' = - 4.19 kJ/kg/K * (298 K - 373 K) - 0.941 kJ/kg/K * 298 K = 314 kJ/kg - 280 kJ/kg = 34 kJ/kg.
  +
  +
Diese Energie müsste man in einem zusätzlichen Speicher zwischenspeichern können.
  +
  +
Mit dieser gespeicherten Energie pumpt die Maschine im zweiten Teil des Prozesses als reversible WP eine spez. Entropie
  +
  +
:''s<sub>2</sub>'' = -''&Delta;s<sub>2</sub>'' = - (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 298 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = 1.59 kJ/K/kg
  +
  +
vom zu kühlenden Wasser auf die Umgebungstemperatur hoch. Dafür braucht sie aus dem Zwischenspeicher eine Energie, die der Differenz zwischen der an die Umgebung abgegebenen und der dem Wasser entzogenen Energie entspricht. Diese spez. Energie beträgt
  +
  +
:''w<sub>2</sub>'' = 298 K * 1.59 kJ/K/kg - (4.19 kJ/kg/K * (298 K - 273 K) + 334 kJ/kg) = 474 kJ/kg - (105 + 334) kJ/kg = 35 kJ/kg.
  +
  +
Das ist nur wenig mehr, als im ersten Prozessteil zwischengespeichert wurde.
  +
  +
Wenn man den Prozess als Ganzes anschaut, nimmt die spezifische Entropie des Wassers um
  +
  +
:<math>\Delta s = c \ln(T_s/T_v) - q/T_s</math> = 4.19 kJ/kg/k * ln(273 K / 373 K) - 334 kJ/kg / 273 K = - 2.53 kJ/kg/K
  +
  +
ab. Weil beide Prozessteile reversibel sind, transportiert die Entropie deshalb eine spezifische Energie
  +
  +
:w<sub>u</sub> = T<sub>u</sub> * -&Delta;s = 298 K * 2.53 kJ/kg/K = 754 kJ/kg
  +
  +
Energie in die Umgebung.
  +
  +
Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie (siehe Teilaufgabe 1), ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als [[Wärmekraftmaschine]], bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral.
  +
 
Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen.
 
Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen.
   

Aktuelle Version vom 24. März 2010, 12:05 Uhr

Antwort 1

Die pro Kilogramm abgegebene Wärmeenergie ist gleich der Änderung der spezifischen Enthalpie des Wassers

[math]\Delta h = c (T_s - T_v) - q[/math] = 4.19 kJ/kg/K * (273 K - 373 K) - 334 kJ/kg = -753 kJ/kg

Die Wärmepumpe transportiert diese Energie zusammen mit der spezifischen Entropie [math]s = \frac {-\Delta h}{T_K}[/math] = 3.10 kJ/kg/K reversibel von der tiefen Temperatur TK = 243 K auf die hohe Temperatur TW = 323 K. Dafür muss die Pumpe mindestens eine spezifische Energie WWP aufwenden:

WWP = (TW - TK) * s = 248 kJ/kg.


Antwort 2

Eine solche Maschine müsste zuerst als reversible Wärmekraftmaschine (WKM) zwischen Wasser als Wärmereservoir der hohen Temperatur und der Umgebung als Reservoir der tiefen Temperatur arbeiten und dabei das Wasser bis zur Umgebungstemperatur abkühlen. Anschliessend müsste sie als reversible Wärmepumpe (WP) zwischen dem Wasser als tiefem Reservoir und der Umgebung als hohem Reservoir arbeiten und dabei das Wasser weiter bis zum Gefrierpunkt abkühlen und zusätzlich noch gefrieren.

Im ersten Teil des Prozesses kühlt die Maschine als WKM das Wasser von 373 K auf die Umgebungstemperatur von 298 K ab. Dabei wird eine spezifische Entropie s1 vom Wasser in die Umgebung transportiert, die der spezifischen Entropieabnahme Δs1 des Wassers entspricht:

s1 = - Δs1 = - 4.19 kJ/kg/K * ln(298 K / 373 K) = 0.941 kJ/kg/K.

Die dabei als Arbeit freigesetzte Energie w1 entspricht der Differenz zwischen der dem Wasser entnommenen und der der Umgebung zugeführten Energie. Die freigesetzte spezifische Energie w1 ist demnach gleich

w1 = - Δh1 - s1 * TU = - 4.19 kJ/kg/K * (298 K - 373 K) - 0.941 kJ/kg/K * 298 K = 314 kJ/kg - 280 kJ/kg = 34 kJ/kg.

Diese Energie müsste man in einem zusätzlichen Speicher zwischenspeichern können.

Mit dieser gespeicherten Energie pumpt die Maschine im zweiten Teil des Prozesses als reversible WP eine spez. Entropie

s2 = -Δs2 = - (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 298 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = 1.59 kJ/K/kg

vom zu kühlenden Wasser auf die Umgebungstemperatur hoch. Dafür braucht sie aus dem Zwischenspeicher eine Energie, die der Differenz zwischen der an die Umgebung abgegebenen und der dem Wasser entzogenen Energie entspricht. Diese spez. Energie beträgt

w2 = 298 K * 1.59 kJ/K/kg - (4.19 kJ/kg/K * (298 K - 273 K) + 334 kJ/kg) = 474 kJ/kg - (105 + 334) kJ/kg = 35 kJ/kg.

Das ist nur wenig mehr, als im ersten Prozessteil zwischengespeichert wurde.

Wenn man den Prozess als Ganzes anschaut, nimmt die spezifische Entropie des Wassers um

[math]\Delta s = c \ln(T_s/T_v) - q/T_s[/math] = 4.19 kJ/kg/k * ln(273 K / 373 K) - 334 kJ/kg / 273 K = - 2.53 kJ/kg/K

ab. Weil beide Prozessteile reversibel sind, transportiert die Entropie deshalb eine spezifische Energie

wu = Tu * -Δs = 298 K * 2.53 kJ/kg/K = 754 kJ/kg

Energie in die Umgebung.

Vergleicht man diesen Wert mit der Änderung der spezifischen Enthalpie (siehe Teilaufgabe 1), ist kaum ein Unterschied auszumachen. Die Maschine arbeitet zuerst als Wärmekraftmaschine, bis das siedende Wasser auf 25°C abgekühlt ist. Danach muss sie die Wärme pumpen, bis alles Wasser gefroren ist. Die im ersten Teilprozess freigesetzte Energie entspricht in etwa der für den zweiten Teilprozess aufzuwendenden Energie. Deshalb ist der totale, reversibel geführte Prozess von der umgesetzten Energie her gesehen ziemlich neutral.

Wir beurteilen die Energie, die wir zum Heizen und Kühlen benötigen, eher im Sinne der zweiten Prozessführung. Um einen Körper wärmer oder kälter als die Umgebung zu machen, müssen wir Energie aufwenden. Kalte und heisse Milch, die auf den Küchentisch gestellt werden, nehmen dann von selbst die Temperatur der Umgebung an. Weil unsere Maschinen nicht ideal arbeiten und weil wir die Entropie zum Heizen meistens erzeugen statt pumpen, sind für uns Heizen und Kühlen nicht unbedingt symmetrische verlaufende Prozesse. In den Schulen wird die zum irreversiblen Erwärmen der Milch notwendige Energie oft im Physikunterricht berechnet. Die Frage nach dem Energieaufwand zum Kühlen der Milch scheint die meisten Physiklehrer dagegen kalt zu lassen.

Aufgabe