Lösung zu Kraft auf Rohrstück

Bei dieser Problemstellung sollte man sowohl beim Aufstellen der Energiebilanz als auch bei der Impulsbilanz mit dem Ueberdruck arbeiten. Das heisst, dass der Referenzdruck der Umgebungsdruck ist, also ca. 10⁵ Pa.

Die Ein- und Austrittsflächen betragen A₁ = π/4 * (0.1 m)² = 0.00785 m², A₂ = π/4 * (0.05 m)² = 0.00196 m² und der Volumen- und der Massenstrom I_V = v₂ * A₂ = 10 m/s * 0.00196 m² = 0.0196 m³/s, I_m = ρ * I_V = 1000 kg/m³ * 0.0196 m³/s = 19.6 kg/s.

1. Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli, liefert zusammen mit der Kontinuitätsgleichung

[math]p_1 + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_2 + \frac {\rho}{2} v_2^2, \quad v_1 A_1 = v_2 A_2, \quad v_1 = v_2 \cdot \frac {d_2^2}{d_1^2} = 10 m/s \cdot \frac {(0.05 m)^2}{(0.1 m)^2}[/math] = 2.50 m/s

den Eintrittsdruck, wobei p₂ = p_L = 0 Pa den Luftdruck und p₁ den Ueberdruck beim Eintritt darstellt

[math] p_1 = p_2 + \frac {\rho}{2} \left(1 - \left(\frac {d_2}{d_1}\right)^4 \right) v_2^2 = 0 + \frac {1000 kg/m^3}{2} \left(1 - \left(\frac {0.05 m}{0.1 m}\right)^4 \right) (10 m/s)^2[/math] = 46.9 kPa

2. Die Impulsbilanz verlangt, dass sich die Festhaltekraft, die Überdruckkraft beim Eintritt und die beiden konvektiven Impulsströme zu Null addieren, weil der Impulsinhalt des Rohrstückes keine Änderung erfährt. Die Impulsbilanz wenden wir auf das System Rohrstück plus Wasser an:

[math]F_A - F_{D1} - F_{D2} + \left(- v_1 \right) \cdot I_m - v_2 \cdot I_m = F_A - p_1 \cdot A_1 - p_2 \cdot A_2 - \left(v_1 + v_2 \right) \cdot I_m = \dot p = 0[/math]

Bei der Ein- und Austrittsfläche berechnen wir die Druckkraft nur mit dem Ueberdruck. Wenn auf der ganzen Systemgrenze nur der überall gleiche Umgebungsdruck (also der Luftdruck) herrschen würde, hätten wir eine Nettokraft von 0. Diese Kräfte können wir also in der Impulsbilanz weglassen. Wir müssen nur das berücksichtigen, was darüber hinausgeht: die mit dem Überdruck berechneten Druckkräfte bei Ein- und Austritt und die Haltekraft F_A auf das Rohr, wobei p₂ = 0 ist.

[math]F_A = p_1 A_1 + v_1 I_m + v_2 I_m = [/math] 46.9 kPa * 0.00785 m² + 2.5 m/s * 19.6 kg/s + 10 m/s * 19.6 kg/s = 368 N + 49 N + 196 N = 613 N

Aufgabe