https://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&feed=atom&action=historyLösung zu Reversibles Mischen - Versionsgeschichte2024-03-28T17:01:05ZVersionsgeschichte dieser Seite in SystemPhysikMediaWiki 1.35.0-rc.2https://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9822&oldid=prevThomas Rüegg am 24. März 2010 um 18:39 Uhr2010-03-24T18:39:36Z<p></p>
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<td class="diff-marker"> </td>
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<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 21:</td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. </div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. </div></td>
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<tr>
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</tr>
<tr>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie: </div></td>
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<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_{a}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, </div></td>
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<tr>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 14:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 14:</td>
</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>weil <math>m_h = m_E + m_k</math>.</div></td>
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<tr>
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<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Um die Temperaturen mit einer [[Wärmekraftmaschine]] (WKM) auszugleichen, würde man das Heisswasser als Wärmereservoir und das Eiswassergemisch als Kältereservoir für die WKM verwenden. Falls diese WKM reversibel arbeitete, bliebe die Entropie erhalten, d.h., dass keine zusätzliche Entropie produziert würde und dass die Entropieabnahme im Heisswasser gleich der Entropiezunahme im Eiswassergemisch wäre: </div></td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math> \Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{rev}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0.</div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 21:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 21:</td>
</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).</div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).</div></td>
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</tr>
<tr>
<td class="diff-marker">−</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==== Lösung 4 ====</div></td>
<td class="diff-marker">+</td>
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</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie </div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie </div></td>
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<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H = </div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9820&oldid=prevThomas Rüegg am 24. März 2010 um 18:36 Uhr2010-03-24T18:36:41Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 24. März 2010, 18:36 Uhr</td>
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<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 24:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 24:</td>
</tr>
<tr>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie </div></td>
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<td class="diff-marker">+</td>
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<td class="diff-marker">+</td>
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</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math> m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. </div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9819&oldid=prevThomas Rüegg am 24. März 2010 um 18:24 Uhr2010-03-24T18:24:57Z<p></p>
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<tr class="diff-title" lang="de">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 24. März 2010, 18:24 Uhr</td>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 10 kg * 4.19 kJ/(kg K) * 80 K = 3.35 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man nur 2 kg * 334 kJ/kg = 668 kJ Energie. Die freiwerdende Energie des Heisswasser reicht also, um das Eis zu schmelzen und deshalb ist nach dem fraglichen Mischvorgang nur noch Wasser vorhanden.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) + m_h c(T_{irr} - T_a)</math> = 0, T<sub>irr</sub> = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>S</sub> = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers. Man löst die Gleichung &Delta;H = 0 nach T<sub>irr</sub> auf und erhält dann ebenfalls 305 K.</div></td>
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<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-left" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur neuen Stelle zu springen." href="#movedpara_9_6_rhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_4_0_lhs"></a><del class="diffchange diffchange-inline">#Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie</del>:<del class="diffchange diffchange-inline"> </del><math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_{a}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, <del class="diffchange diffchange-inline">weil <math>m_h = m_E + m_k</math>.</del></div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. </div></td>
</tr>
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<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-left" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur neuen Stelle zu springen." href="#movedpara_9_11_rhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_6_0_lhs"></a><del class="diffchange diffchange-inline">#</del>Um die Temperaturen mit einer [[Wärmekraftmaschine]] (WKM) auszugleichen, würde man das Heisswasser als Wärmereservoir und das Eiswassergemisch als Kältereservoir für die WKM verwenden. Falls diese WKM reversibel arbeitete, bliebe die Entropie erhalten, d.h., dass keine zusätzliche Entropie produziert würde und dass die Entropieabnahme im Heisswasser gleich der Entropiezunahme im Eiswassergemisch wäre: <del class="diffchange diffchange-inline"><math> \Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{rev}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0. Die Endtemperatur wäre dann gleich <math>T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).</del></div></td>
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<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-left" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur neuen Stelle zu springen." href="#movedpara_9_18_rhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_8_0_lhs"></a><del class="diffchange diffchange-inline">#</del>Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie <del class="diffchange diffchange-inline">W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H = <math> - m_h c(T_{rev} - T_{a}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) </math> <math>= m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</del></div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen </div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) + m_h c(T_{irr} - T_a)</math> = 0, </div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>T<sub>irr</sub> = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>S</sub> = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers. Man löst die Gleichung &Delta;H = 0 nach T<sub>irr</sub> auf und erhält dann ebenfalls 305 K.</div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==== Lösung 2 ====</div></td>
</tr>
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<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie: </div></td>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-right" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur alten Stelle zu springen." href="#movedpara_4_0_lhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_9_6_rhs"></a>:<math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_{a}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, </div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>weil <math>m_h = m_E + m_k</math>.</div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==== Lösung 3 ====</div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-right" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur alten Stelle zu springen." href="#movedpara_6_0_lhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_9_11_rhs"></a>Um die Temperaturen mit einer [[Wärmekraftmaschine]] (WKM) auszugleichen, würde man das Heisswasser als Wärmereservoir und das Eiswassergemisch als Kältereservoir für die WKM verwenden. Falls diese WKM reversibel arbeitete, bliebe die Entropie erhalten, d.h., dass keine zusätzliche Entropie produziert würde und dass die Entropieabnahme im Heisswasser gleich der Entropiezunahme im Eiswassergemisch wäre: </div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math> \Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{rev}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0.</div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Endtemperatur wäre dann gleich </div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).</div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==== Lösung 4 ====</div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker"><a class="mw-diff-movedpara-right" title="Der Absatz wurde verschoben. Klicken, um zur alten Stelle zu springen." href="#movedpara_8_0_lhs">⚫</a></td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><a name="movedpara_9_18_rhs"></a>Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie </div></td>
</tr>
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<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H = </div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math> - m_h c(T_{rev} - T_{a}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) </math> <math>= m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. </div></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="2" class="diff-empty"> </td>
<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td>
</tr>
<tr>
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</tr>
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<td class="diff-marker">+</td>
<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. </div></td>
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</tr>
<tr>
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<td class="diff-marker">+</td>
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</tr>
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<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man [[Energie]] als Arbeitsvermögen bezeichnet. ''Albert Einstein'' konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und [[Masse]] gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] und [[Prozessleistung]] unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der [[Thermodynamik]]. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die [[Energie]] erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die [[Entropie]] erhalten bleibt.</div></td>
<td class="diff-marker"> </td>
<td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man [[Energie]] als Arbeitsvermögen bezeichnet. ''Albert Einstein'' konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und [[Masse]] gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] und [[Prozessleistung]] unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der [[Thermodynamik]]. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die [[Energie]] erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die [[Entropie]] erhalten bleibt.</div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9818&oldid=prevThomas Rüegg am 24. März 2010 um 17:31 Uhr2010-03-24T17:31:53Z<p></p>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen <del class="diffchange diffchange-inline">Enthalpieabnahme</del> des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der <del class="diffchange diffchange-inline">Enthalpiezunahme</del> des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H = <math> m_h c(<del class="diffchange diffchange-inline">T_a</del> - T_{<del class="diffchange diffchange-inline">rev</del>}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) = m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen <ins class="diffchange diffchange-inline">Enthalpieänderung</ins> des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der <ins class="diffchange diffchange-inline">Enthalpieänderung</ins> des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H = <math><ins class="diffchange diffchange-inline"> -</ins> m_h c(<ins class="diffchange diffchange-inline">T_{rev}</ins> - T_{<ins class="diffchange diffchange-inline">a</ins>}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) <ins class="diffchange diffchange-inline"></math> <math></ins>= m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9817&oldid=prevThomas Rüegg am 24. März 2010 um 15:02 Uhr2010-03-24T15:02:05Z<p></p>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) <del class="diffchange diffchange-inline">-</del> m_h c(<del class="diffchange diffchange-inline">T_a - </del>T_{irr})</math> = 0, T<sub>irr</sub> = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>S</sub> = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) <ins class="diffchange diffchange-inline">+</ins> m_h c(T_{irr}<ins class="diffchange diffchange-inline"> - T_a</ins>)</math> = 0, T<sub>irr</sub> = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>S</sub> = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers<ins class="diffchange diffchange-inline">. Man löst die Gleichung &Delta;H = 0 nach T<sub>irr</sub> auf und erhält dann ebenfalls 305 K</ins>.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie: <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) <del class="diffchange diffchange-inline">-</del> m_h c \ln \left(\frac {<del class="diffchange diffchange-inline">T_a</del>}{T_{<del class="diffchange diffchange-inline">irr</del>}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, weil <math>m_h = m_E + m_k</math>.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie<ins class="diffchange diffchange-inline"> W<sub>Prozess</sub></ins> ist dann gleich <ins class="diffchange diffchange-inline">Energieabgabe W<sub>1</sub></ins> des Heisswassers minus<ins class="diffchange diffchange-inline"> Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieabnahme des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der</ins> Enthalpiezunahme des Eiswassers<ins class="diffchange diffchange-inline">, W</ins><<ins class="diffchange diffchange-inline">sub>2</sub</ins>> <ins class="diffchange diffchange-inline">= &</ins>Delta<ins class="diffchange diffchange-inline">;H<sub>EW</sub>,</ins> <ins class="diffchange diffchange-inline">also wird die abgegebene Prozessenergie W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;</ins>H<ins class="diffchange diffchange-inline"><sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub></ins> =<ins class="diffchange diffchange-inline"> - &Delta;H = <math></ins> m_h c(T_a - T_{rev}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) = m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9761&oldid=prevThomas Rüegg am 16. März 2010 um 16:03 Uhr2010-03-16T16:03:07Z<p></p>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9760&oldid=prevThomas Rüegg am 16. März 2010 um 15:55 Uhr2010-03-16T15:55:47Z<p></p>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die von der <del class="diffchange diffchange-inline">Wärmekraftmaschine</del> abgegebene Energie ist dann gleich <del class="diffchange diffchange-inline">der</del> <del class="diffchange diffchange-inline">Enthalpieänderung</del> des <del class="diffchange diffchange-inline">Wassers</del>:<math> \Delta H = m_h c(T_a - T) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T - T_s) \right) = m_h c(T_s + T_a - 2 T) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</div></td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die von der <ins class="diffchange diffchange-inline">reversiblen WKM als Arbeit</ins> abgegebene Energie ist dann gleich <ins class="diffchange diffchange-inline">Enthalpieabnahme des Heisswassers minus</ins> <ins class="diffchange diffchange-inline">Enthalpiezunahme</ins> des <ins class="diffchange diffchange-inline">Eiswassers</ins>:<math> \Delta H = m_h c(T_a - T) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T - T_s) \right) = m_h c(T_s + T_a - 2 T) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.</div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9759&oldid=prevThomas Rüegg am 16. März 2010 um 15:43 Uhr2010-03-16T15:43:43Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 16. März 2010, 15:43 Uhr</td>
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<td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Die produzierte Entropie ist gleich der<ins class="diffchange diffchange-inline"> Differenz zwischen der vom Eiswasser</ins> aufgenommenen <ins class="diffchange diffchange-inline">und der vom</ins> <ins class="diffchange diffchange-inline">Heisswasser</ins> <ins class="diffchange diffchange-inline">abgegebenen</ins> Entropie: <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T}{T_s}\right) - m_h c \ln \left(\frac {T_a}{T}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, weil <math>m_h = m_E + m_k</math>.</div></td>
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</table>Thomas Rüegghttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Reversibles_Mischen&diff=9758&oldid=prevThomas Rüegg am 16. März 2010 um 15:31 Uhr2010-03-16T15:31:11Z<p></p>
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