Lotka-Volterra-Gleichung

Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben ein einfaches Räuber-Beute-Modell

Motivation

Bei der Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer Beutepopulation (nachfolgend Hasen genannt) und einer Räuberpopulation (nachfolgend Füchse genannt) aus. Die Geburtenrate der Hasen soll proportional zur momentanen Zahl H sein. Entsprechendes gilt für die Sterberate der Füchse. Die Sterberate der Hasen ist gleich der Beuterate, die wiederum proportional zum Produkt aus der Zahl der Hasen und der Füchse sein soll. Dies ergibt sich aus der Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hasenopfers proportional zur Zahl der Hasen und der Füchse anwächst. Die Geburtenrate der Füchse soll ebenfalls proportional zur Beuterate sein, weil sich die Ernährungslage der Füchse mit jedem erbeuteten Hasen verbessert. Fasst man die Überlegungen zusammen, erhält man das Lotka-Volterra-Gleichungssystem.

[math]\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)[/math]

[math]\dot F=k_{21}HF-k_2F=F(k_{21}H-k_2)[/math]

Aus der systemdynamischen Modellierung des Räuber-Beute-Modells und der nachfolgenden Darstellung der Simulation im Phasendiagramm (Hasen gegen Füchse) ersieht man, dass das System einen stationären Punkt aufweist, der von allen andern Systemzuständen umrundet wird.

Das System bleibt stabil, falls beide Änderungsraten gleich Null sind. Aus dieser Gleichung folgt für die stabile Zahl von Hasen und Füchsen

[math]H_s=\frac{k_2}{k_{21}}[/math] und [math]F_s=\frac{k_1}{k_{12}}[/math]

Dividiert man in den Lotka-Volterra-Gleichungen die Hasen und Füchse durch die stationären Grössen, erhält man ein dimensionsloses Gleichungssystem

[math]\dot h=k_1h(1-f)[/math]

[math]\dot f=k_2f(h-1)[/math]

Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann

[math]k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{f}{f_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0[/math]