Schwerpunkt

Der volumenmässige Impulsaustausch zwischen Körper und Gravitationsfeld kann durch eine einzige Punktquelle im Schwerpunkt des Körpers ersetzt werden, falls man sich nur für den ausgetauschten Impuls und den Drehimpuls interessiert. Weil die Stärke der auf den Körper bezogene Impulsquelle auch Gewichts-, Schwer- oder Gravitationskraft heisst, sagt man dann, dass die Gewichtskraft im Schwerpunkt angreift. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen.

Massenpunkte

Der Schwerpunkt einer Ansammlung von Massenpunkten berechnet sich über das Hebelgesetz

[math]m (\vec s_{SP} \times \vec g_{SP}) = \sum_i \vec s_i \times m_i\vec g_i = \sum_i m_i(\vec s_i\times \vec g_i)[/math]

In einem homogenen Gravitationsfeld kann die Feldstärke g ausgeklammert und weggekürzt werden

[math]\vec s_{SP} = \frac {\sum_i m_i \vec s_i }{\sum_i m_i} = \frac {1}{m}\sum_i m_i \vec s_i[/math]

ausgedehnte Körper

Zerlegt man einen ausgedehnten Körper in lauter Punkte mit dem Volumen dV, kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden

[math]m (\vec s_{SP} \times \vec g_{SP}) = \int \vec s \times \rho(\vec s)\vec g(\vec s)dV = \int \rho(\vec s)(\vec s\times \vec g(\vec s))dV[/math]

In einem homogenen Feld fällt die Stärke des Gravitationsfeldes weg

[math]\vec s_{SP} = \frac {\int \rho(\vec s) \vec s dV}{\int \rho(\vec s)dV} = \frac {\int \rho(\vec s) \vec s dV}{m}[/math]