Unwucht

Phänomen

Ein Rotator, ein bezüglich einer festen Achse drehbar gelagerter Körper, sollte seine Lager unabhängig von der Drehzahl gleich belasten wie im Ruhezustand. Dann ist er opimal ausgewuchtet. Steigt die Belastung der Lager mit der Drehzahl, ist er nicht ausgewuchtet. Beim nicht ausgewuchteten Rotator treten Vibrationen auf, die zu Verschleiss und im Extremfall zur Zerstörung des ganzen Systems führen können.

Als Modellkörper nehmen wir eine horizontal ausgerichtete Scheibe, die auf einer vertikal stehenden Achse zentriert ist. Die Achse selber ist am unteren und am oberen Ende, symmetrisch zur Scheibe gelagert. Im Ruhezustand müssen die Lager nur die durch die Gewichtskraft verursachten Achsialkräft "aufnehmen", d.h. der durch das Gravitationsfeld zufliessende Impuls muss über die Lager abgeführt werden. In radialer Richtung werden die Lager auch nicht belastet, wenn die Scheibe in Drehung versetzt wird.

Befestigt man weit aussen auf der Scheibe, je einen kleinen Körper auf der oberen und einen auf der unteren Fläche, werden beide Lager im Gleichtakt belastet, sobald das Sysem in Rotation versetzt wird. Die mit den beiden Körpern erzeugte Unwucht nennt man statisch. Das Wort erklärt sich von selbst, wenn man die Achse horizontal hält. Dann schwingt die Scheibe gedämpft hin und her, bis die beiden Körper an der tiefsten Stelle zur Ruhe kommen.

Nimmt man den unteren Körper wieder weg und befestigt ihn auf dem diametral gelegenen Punkt auf der unteren Scheibenfläche, erzeugt man eine dynamische Unwucht. Die dynamische Unwucht macht sich nicht bemerkbar, wenn man die Achse horizontal hält, d.h der Rotator kann in jeder Position zur Ruhe kommen. Fährt man nun die Drehzahl hoch, werden die Lager im Gegentakt belastet.

statische Unwucht

Bei der statischen Unwucht liegt der Massenmittelpunkt nicht auf der Symmetrieachse. Folglich ändert sich der Impulsinhalt im Gleichtakt mit der Rotation. Der Impulsaustausch mit der Erde erfolgt über die beiden Lager.

Die Impulsänderungsrate kann allgemein als Änderungsrate des Betrages in Kombination mit deiner Kippbewegung geschrieben werden:

[math]\dot \vec p = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p[/math]

Bei konstanter Drehzahl bleibt der Betrag des Impulsvektors konstant. Der Vektor ändert aber zusammen mit dem rotierenden Körper die Richtung. Die Impulsänderungsrate führt zu einem Impulsstrom, den man resultierende Kraft nennt

[math]\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p[/math]

Die resultierende Kraft zeigt gegen die Achse. Der Betrag dieser Kraft hängt also nur von der Winkelgeschwindigkeit des Rotors und dem Betrag des Gesamtimpulses ab. Nun kann der Impuls durch Masse und Geschwindigkeit, bzw. Winkelgeschwindigkeit ersetzt werden

F_res = ω p = ω m v_MMP = m s ω²

s steht für den Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse. Der mit F_res beschriebene Drehimpulsstrom verteilt sich auf beide Lager

dynamische Unwucht

Bei der dynamischen Unwucht liegt der Massenmittelpunkt auf der Symmetrieachse. Folglich ist der Impulsinhalt des rotierenden Körpers gleich Null. Dafür zeigt der Drehimpulsvektor nicht in Richtung der Drehachse, in Richtung von ω. Die Drehachse ist keine Hauptachse des rotierenden Körpers. Nun zerlegen wir den Drehimpulsvektor in eine paralle Komponente, die konstant bleibt und eine radiale oder normale Komponenten, die zusammen mit dem Körper herumgewirbelt wird. Diese periodische Drehimpulsänderung führt zu einem Austausch mit der Erde, der über die Lager geführt wird.

Die Drehmpulsänderungsrate kann allgemein als Änderungsrate des Betrages in Kombination mit deiner Kippbewegung geschrieben werden:

[math]\dot \vec L = \dot L \frac {\vec L} {L} + \vec \omega \times \vec L[/math]

Bei konstanter Drehzahl führt nur die Normalkomponente eine Kippbewegung aus. Diese Drehimpulsänderung führt zu einem Drehimpulsstrom, den man resultierendes Drehmoment nennt

[math]\vec M_{res} = \vec \omega \times \vec M[/math]

Das resultierende Drehmoment steht normal zur Achse und zur Normalkomponente des Drehimpulses. Der Betrag dieses Drehmomentes hängt also nur von der Winkelgeschwindigkeit des Rotors und dem Betrag des Gesamtimpulses ab. Nun kann der Normalanteil des Drehimpulses als Deviations- oder Zentrifugalmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden

M_res = ω L = D ω²

Das Deviationsmoment, das wie das Massenträgheitsmoment in kg m² gemessen wird, kann berechnet oder experimentell bestimmt werden. Der mit M_res beschriebene Drehimpulsstrom führt gemäss dem Hebelgesetz zu einem umlaufenden Kräftepaar in beiden Lagern

Im allgemeinen Fall ist ein Körper weder statisch noch dynamisch ausgewuchtet. Misst man in beiden Lagern je die Stromstärke einer Radialkomponente des Impulses (die Kraft in eine Richtung) erhält man zwei sinusförmige Signale, die der resultierende Kraft und dem resultierenden Drehmoment auf den Rotator entsprechen. Die Kraft, die zur statischen Unwucht gehört, und das Drehmoment, das die dynamische Unwucht ausmacht, vergrössern sich im Quadrat zur Drehzahl.