Zwillingsparadoxon: Unterschied zwischen den Versionen

Zeile 24: Zeile 24:
 
:<math>w_{kin}=\frac{v^2}{2}</math> = 121 MJ/kg (1.21*10<sup>8</sup> J/kg)
 
:<math>w_{kin}=\frac{v^2}{2}</math> = 121 MJ/kg (1.21*10<sup>8</sup> J/kg)
   
Dies ist etwa das Dreifache der spezifische Reaktionsenthalpie (Heizwert) von Heizöl. Rechnet man korrekt, wird die spezifische Energie noch um Faktoren grösser
+
Dies ist etwa das Dreifache der spezifische Reaktionsenthalpie (Heizwert) von Heizöl. Rechnet man [[Lichtmauer|korrekt]], wird die spezifische Energie noch um Faktoren grösser
   
 
:<math>w_{kin}=\frac{(m-m_0)c^2}{m_0}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)c^2</math> = 116 PJ (1.16*10<sup>17</sup> J/kg)
 
:<math>w_{kin}=\frac{(m-m_0)c^2}{m_0}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)c^2</math> = 116 PJ (1.16*10<sup>17</sup> J/kg)

Version vom 23. September 2008, 10:04 Uhr

Wir betrachten ein Zwillingspaar (Bruder und Schwester), das an einem festen Ort lebt. Die Schwester will eine Reise zu einem fernen Stern unternehmen, während der Bruder lieber zuhause bleibt. Das von der Schwester benutzte Raumschiff beschleunigt ausserordentlich schnell und ist - vom Bruder aus gesehen - mit 90% der Lichtgeschwindigkeit unterwegs. Zwanzig Jahre später steht die Schwester wieder vor der Tür ihres elterlichen Hauses und wundert sich über die gross gewachsenen Sträucher und Bäume im Garten. Der Bruder wundert sich nicht über das jugendliche Aussehen seiner Schwester, kennt er doch die Möglichkeiten der Kosmetikbranche. Erst als er auf ihre Armbanduhr blickt, wird er doch etwas nachdenklich, zeigt doch das Datum auf dem Zifferblatt einen längst verflossenen Tag.

Zeitdilatation

Wir nehmen nun den Standpunkt des Bruders ein. Aus seiner Sicht erfährt sowohl die weg fliegende aus auch die heimkehrende Schwester gemäss der Lorentz-Transformation eine Zeitdehung, d.h. die im Raumschiff messbare Zeit ist trotz vermeintlicher Symmetrie der Hin- und Rückfahrt langsamer verflossen als auf der Erde

[math]\Delta t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left(\Delta t-\frac{v}{c^2}v\Delta t\right)=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\Delta t[/math]

Wäre die Schwester volle 20 Jahre mit 90% der Lichtgeschwindigkeit unterwegs gewesen, hätte sie nur 43.6% von 20 Jahren, also nur 8.72 Jahre gelebt.

Hätte die Schwester Lichtgeschwindigkeit erreicht, wäre ihre Zeit vom Bruder aus gesehen still gestanden. So hohe Geschwindigkeiten können aber nur Photonen erreichen. Photonen, also Lichtteilchen, können Milliarden von Jahre unterwegs sein ohne zu altern. Hätten diese Teilchen eine eigene Empfindung, würden Geburt (Emission) und Tod (Absorption) gleichzeitig stattfinden.

Beschleunigungsphasen

Die Schwester muss auf Ihrer Reise mindestens drei (falls Sie den fremden Stern nur umrundet) oder auch vier (falls sie auf dem fremden Stern landet) Beschleunigungsphasen durchlaufen. In diesen Phasen müssen die Uhren in ihrem Bezugssystem anders synchronisiert werden.

Wird die Schwester aus der Sicht des Bruders mit 10 m/s2 beschleunigen, dauert eine einfache Beschleunigungsphase ungefähr

[math]\Delta t=\frac{0.9\cdot c}{a}[/math] = 29'979'246 s

Diese Zeit entspricht etwa 347 Tage oder fast einem Jahr.

Energiebetrachtung

Soll ein Körper von Null auf 90% der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden, benötigt man ohne Berücksichtigung der relativistischen Effekte eine spezifische (pro Kilogramm) von Energie von

[math]w_{kin}=\frac{v^2}{2}[/math] = 121 MJ/kg (1.21*108 J/kg)

Dies ist etwa das Dreifache der spezifische Reaktionsenthalpie (Heizwert) von Heizöl. Rechnet man korrekt, wird die spezifische Energie noch um Faktoren grösser

[math]w_{kin}=\frac{(m-m_0)c^2}{m_0}=\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)c^2[/math] = 116 PJ (1.16*1017 J/kg)

Solch unglaublich hohe spezifische Energien wendet man heute erst bei Elementarteilchen auf.