Lösung zu Iglu

Wir vernachlässigen den Umstand, dass bei einer Hohlkugel die Innenfläche kleiner als die Aussenfläche ist. Das Iglu hat somit eine Wandfläche von von 56.6 m², was bei einem Energiestrom von 800 W eine Energiestromdichte von j_W = 14.15 W ergibt.

1. Der Wärmedurchgangskoeffizient der Iglu-Wand darf nicht grösser als Energiestromdichte dividiert durch Temperaturdifferenz sein, also gleich [math]U = \frac {j_W}{\Delta T}[/math] = 0.354 W/(m² K). Dies ergibt eine Wandstärke von [math]\Delta s = \lambda \left( \frac{1}{U} - \frac{2}{\alpha}\right)[/math] = 1.5 m .
2. In den beiden Übergangen zwischen Luft und Schnee fällt die Temperatur um je [math]\Delta T = \frac {j_W}{\alpha}[/math] = 0.56 K entlang des Wärmestromes ab. Die Innenfläche des Iglus ist demnach etwa gleich warm wie der Innenraum und die Aussenfläche nimmt praktisch die Aussentemperatur an. Offensichtlich ist beim Iglu im Gegensatz zu einer Tasse mit heissem Tee das Material und nicht die Oberfläche für die Wärmedämmung verantwortlich.
3. 

   Systemdiagramm
   Zur Modellierung zerlegen wir das Iglu in vier Energiespeicher (Innenraum und drei Schneeschichten). Die Wärmeleitung erfolgt dann über vier Leitwerte (Übergang plus ein Sechstel der Schneeschicht, zwei Mal ein drittel der Schneeschicht und nochmals ein Sechstel der Schneeschicht plus Wärmeübergang). Die Speichergrösse nennen wir H für Enthalpie. Den Innenradius setzen wir auf 2.25 m und den Aussenradius auf 3.75 m. Die Kapazität des Innenraums kann nur grob geschätzt werden, weil der Boden ebenfalls kapazitiv wirkt.
4. Das untenstehende Diagramm zeigt den Temperaturverlauf aussen, innen und in den drei Schneeschichten. Die Hülle des Iglus wirkt stark dämpfend. Zudem läuft die Innentemperatur phasenverschoben nach. Weil es draussen anfänglich zu warm (-10°C) gewesen ist, steigt die Temperatur innen zuerst an. Das Iglu ist zu stark isoliert, weil es auf die tiefste Temperatur ausgelegt worden ist.

Aufgabe