Mechanik des starren Körpers

Die Mechanik des starren Körpers sollte von jeder Ingenieurin und jedem Ingenieur im Prinzip verstanden werden (der Ingenieur unterscheidet sich vom Techniker durch ein tieferes Verständnis der mathematisch-naturwissenschaftlichen Grundlagen). In dieser Vorlesung wird aber nur die Bewegung in der Ebene besprochen. Das zugehörige Lösungsverfahren ist so grundlegend, dass Sie es wie ein Rezept beherrschen müssen.

Struktur

Bilanzgleichungen

Ein Körper vermag Impuls und Drehimpuls zu speichern. Beide Grössen dürfen bezüglich eines raumfesten Bezugssystem in sechs skalare Mengen aufgespalten werden, die einzeln zu bilanzieren sind. Folglich müssen für eine vollständige Bilanz sechs Töpfe ins Systemdiagramm gezeichnet werden. Die zugehörigen Stromstärken bezüglich eines ausgewählten Systems heissen Kräfte bzw. Drehmomente. Man Unterscheidet zwei Arten von Kräften, die Oberflächenkräfte und die Gewichtskraft. Bei den Oberflächenkräften fliesst der Impuls leitungsartig, also durch das Material hindurch über die Systemgrenze. Im Falle der Gewichtskraft tauscht der Körper über sein ganzes Volumen verteilt Impuls mit dem Gravitationsfeld aus. Die Impulsbilanz beschreibt nun den Zusammenhang zwischen den Stromstärken (Kräften) und der Änderung des Inhalts

[math] \sum_i\vec F_i+m\vec g=\dot{\vec p}[/math]

Hier sind nur die Stärken der Impulsströme als Kräfte bezeichnet worden. Die gravitative Impulsquelle wird direkt als (schwere) Masse mal Gravitationsfeldstärke in die Bilanz eingebracht.

Die Drehimpulsbilanz kennt eine ähnliche Unterscheidung wie die Impulsbilanz. Man unterscheidet zwischen reinen Drehmomenten und Drehmomenten, die eine Kraft begleiten. Reine Drehmomente werden von verdrehten Wellen oder vom elektromagnetischen Feld erzeugt. Drehmoment können aber auch als Begleiterscheinung von Kräften auftreten. Das einer Kraft zugeordnete Drehmoment ist gleich Kraft mal Abstand des Massenmittelpunktes von der Wirklinie der Kraft. Die Drehimpulsbilanz nimmt damit die folgende Gestalt an

[math] \sum_i\vec M_i+\sum_j(\vec r_j\times\vec F_j)=\dot{\vec L}[/math]

Der Vektor im Kreuzprodukt zeigt vom Massenmittelpunkt zum "Angriffspunkt" der Kraft. Diese Zuordnung hängt mit der Kopplung zwischen den Impuls- und Drehimpulstransporten zusammen. Fliesst ein Impulsstrom quer zu seiner Bezugsrichtung, bilden sich Quellen und Senken von Drehimpuls. Nun fliessen im Körper alle Impulsströme im Mittel bis zum Massenmittelpunkt. Folglich erzeugt jede Kraft auf einen Körper eine Hebelwirkung bezüglich dieses Trägheitszentrums. Man beachte, dass jede Kraft ungeschmälert in die Impulsbilanz eingeht. Eine Kraft führt nicht zu einer kleineren Wirkung (Beschleunigung), nur weil ihre Wirklinie weit neben dem Massenmittelpunkt hindurch verläuft. Die Wirkung der Kraft darf unter keinen Umständen mit dem zugeordneten Drehmoment "verrechnet" werden.

Bewegung

Der Impulsinhalt legt die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes fest

[math] \vec v_{MMP}=\frac{\vec p}{m}[/math]

Setzt man diese Beziehung in die Impulsbilanz ein, folgt das Grundgesetz der Mechanik

[math]\sum_i \vec F_i+m\vec g=m\vec a_{MMP}[/math]

Bezüglich der Rotation lässt sich keine dazu analoge Beziehung formulieren, d.h. im allgemeinen Fall ist das Massenträgheitsmoment kein einfacher Skalar, mit dem sich aus dem Drehimpuls direkt die Winkelgeschwindigkeit rechnen lässt. Jeder starre Körper besitzt aber mindestens drei zueinander normal stehende Achsen, bezüglich denen die einfache Formulierung zutrifft, wonach die Winkelgeschwindigkeit gleich Drehimpuls dividiert durch Massenträgheitsmoment ist. Im allgemeinen Fall gehört dann zu jeder dieser drei Hauptachsen ein eigenes Massenträgheitsmoment. Das Rotationsverhalten eines starren Körpers lässt sich beschreiben, sobald diese drei Massenträgheitsmomente und die jeweilige Lage der Hauptachsen bekannt sind.

Kontrollfragen

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