Tut 1.4: Unterschied zwischen den Versionen

 
 
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[[Bild:Tut_1_4_1|thumb|Reservoir mit Abfluss]] Eine System kann über eine oder mehrere Bestandesgrösse zurückkoppeln. Die Zahl der beteiligten Bestandesgrössen legt die Ordnung der Differentialgleichung fest. Wir beschränken uns hier auf Systeme mit nur einer Bestandesgrösse. Die entsprechende Menge wird dann mit der Umgebung ausgetauscht, die in der Regel ein festes [[Potenzial]] oder einen fixen Bezugspunkt für die intensive Grösse aufweist. Die nachfolgende Liste enthält Beispiele mit einem von aussen gesteuerten (aufgeprägten) Zustrom und einem vom Zustand des Systems abhängigen Abfluss.
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[[Bild:Tut_1_4_1.jpg|thumb|Reservoir mit Abfluss]] Eine System kann über eine oder mehrere Bestandesgrösse rückkoppeln. Die Zahl der beteiligten Bestandesgrössen legt die Ordnung der Differentialgleichung fest. Wir beschränken uns hier auf Systeme mit nur einer Bestandesgrösse. Die entsprechende Menge wird dann mit einer Umgebung ausgetauscht, die häufig einen fixen Bezugspunkt für das [[Potenzial]] oder die intensive Grösse aufweist. Das abgebildete Systemdiagramm eines Reservoirs zeigt nur einen Abfluss und keinen Zufluss. Die nachfolgende Liste enthält Beispiele mit einem von aussen gesteuerten (aufgeprägten) Zustrom und einem vom Zustand des Systems abhängigen Abfluss.
   
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[[Bild:Tut_1_4_2|thumb|positives und negatives feedback]] Wirkt die gespeicherte Menge über die intensive Grösse antreibend auf den Abfluss, spricht man von einer '''negativen''' Rückkopplung. Der Inhalt behindert dann das eigene Wachstum. Alle oben aufgeführten Beispiel sind negativ rückgekoppelt.
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[[Bild:Tut_1_4_2.jpg|thumb|positives und negatives Feedback]] Wirkt die gespeicherte Menge über die intensive Grösse antreibend auf den Abfluss, spricht man von einer '''negativen''' Rückkopplung. Der Inhalt behindert dann das eigene Wachstum. Alle oben aufgeführten Beispiel sind negativ rückgekoppelt.
   
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Fördert die gespeicherte Menge den Zufluss, spricht man von einer '''positiven''' Rückkopplung. Der Inhalt steigert dann das eigene Wachstum. Unbeschränkt rückgekoppelte Systeme zerstören sich in der Regel selber. Bei positiv rückgekoppelten Teilsysteme wird oft zuerst das Gesamtsystem kannibalisieren ([[Steuerwettbewerb]]).
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Fördert die gespeicherte Menge den Zufluss, spricht man von einer '''positiven''' Rückkopplung. Der Inhalt steigert dann das eigene Wachstum. Unbeschränkt rückgekoppelte Systeme zerstören sich in der Regel selber. Bei positiv rückgekoppelten Teilsysteme wird oft zuerst das Gesamtsystem kannibalisieren ([[Steuerwettbewerb]]).
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==Beispiel==
  
==Beispiel==
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Aus dem weiter oben als Systemdiagramm abgebildete und unter [[Tut 1.3|Parameter]] beschriebenen Reservoir fliesst über ein langes dünnes Rohr Wasser ab. Bei hohem Füllstand ist der Abfluss turbulent. Bei turbulenter Strömung nimmt die Stärke des Abflusses mit der Wurzel aus dem Überdruck zu
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Das oben abgebildete Systemdiagramm zeigt ein Reservoir, aus dem über ein langes dünnes Rohr Wasser abfliesst. Einzelne Parameter sind schon unter [[Tut 1.3|Parameter]] erklärt worden. Bei hohem Füllstand ist der Abfluss turbulent. Die Stärke des Abflusses nimmt dann mit der Wurzel aus dem Überdruck zu
   
 
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Sinkt der Wasserspiegel unter die kritische Grenze, fliesst das Wasser laminar durch das Rohr weg. Bei laminarem Abfluss ist die Stromstärke proportional zu Überdruck im Gefäss
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Sinkt der Wasserspiegel unter die kritische Grenze, fliesst das Wasser laminar durch das Rohr weg. Bei laminarem Abfluss ist die Stromstärke proportional zum Überdruck ''p'' beim Gefässboden
   
 
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[[Bild:Tut_1_4_3|thumb|Füllhöhe und Abfluss]] Die Konstante ''k'' und der Strömungswiderstand ''R<sub>V</sub>'' sind so zu wählen, dass bei einem Füllstand von einem Meter, also bei einem Druck von 10 kPa, der Abfluss bei 0.01 m<sup>3</sup>/s, dieturbulent von turbulent auf laminar umschlägt. Mit diesen Angeben können die beiden Systemparameter berechnet werden
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[[Bild:Tut_1_4_3.gif|thumb|Füllhöhe und Abfluss in 1000 s]] Die Konstante ''k'' und der Strömungswiderstand ''R<sub>V</sub>'' sind so zu wählen, dass bei einem Füllstand von einem Meter, also bei einem Druck von 10 kPa, der Abfluss 0.01 m<sup>3</sup>/s beträgt und gerade von turbulent auf laminar umschlägt. Aus dieser Bedingung können die beiden Systemparameter berechnet werden
   
 
:<math>k = \left(\frac {p}{(I_{V_2})^2}\right)_{krit}</math> = 10<sup>8</sup> Pa s<sup>2</sup>/m<sup>6</sup>
  
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Damit der Umschlag beim kritischen Druck von 10kPa passiert, schreibt man diese Bedingung in den Abfluss hinein:
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Damit der Umschlag beim kritischen Druck von 10 kPa auch wirklich passiert, schreibt man diese Bedingung in den Abfluss hinein:
   
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:I<sub>V2</sub> = if p > 1e4 then sqrt(p/k) else p/R_V
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Der Zufluss ist in diesem Modell entfernt worden (aktivieren und Tastenkombination '''Ctrl + Delete ''' eingeben).
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In hier gezeigten Modell ist der Zufluss aus dem Beispiel unter [[Tut 1.3|Parameter]] durch aktivieren des zugehörigen Objekts und Eingabe der Tastenkombination '''Ctrl + Delete ''' entfernt worden.
   
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Die Graphik zeigt den Füllstand sowie die Stromstärke des Abflusses in Funktion der Zeit. Bei turbulentem Abfluss nimmt die Stromstärke linear und die Füllhöhe quadratisch in der Zeit ab. Der laminare Abfluss bildet mit dem Reservoir zusammen ein lineares [[RC-Glied]]. Bei linearen RC-Gliedern nimmt sowohl das Potenzial als auch die Stromstärke expônentiell mit der Zeit ab
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Die Graphik zeigt den Füllstand sowie die Stromstärke des Abflusses in Funktion der Zeit. Bei turbulentem Abfluss nimmt die Stromstärke linear und die Füllhöhe quadratisch in der Zeit ab. Der laminare Abfluss bildet zusammen mit dem Reservoir ein lineares [[RC-Glied]]. Bei linearen RC-Gliedern nimmt sowohl das Potenzial als auch die Stromstärke exponentiell mit der Zeit ab
   
 
:<math>h = h_{an}e^{-t/\tau}</math> mit <math>\tau = RC</math>
  
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==limitierte Rückkopplung==
  
==limitierte Rückkopplung==
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[[Kategorie:Modelle]]

Aktuelle Version vom 23. September 2007, 18:47 Uhr

Ein Reservoir, das gefüllt und geleert wird, oder ein Körper, der von aufgeprägten Kräften beschleunigt wird, bilden noch keine dynamische Systeme. Erst wenn die gespeicherte Menge selber direkt oder indirekt auf die Zu- und Abflüsse zurück wirkt, kann von einem dynamischen System gesprochen werden. Mathematisch betrachtet bilden Flussgrössen, Bestandesgrössen und Rückkopplung (feed back) eine Differentialgleichung erster Ordnung.

Rückkopplungen

Reservoir mit Abfluss

Eine System kann über eine oder mehrere Bestandesgrösse rückkoppeln. Die Zahl der beteiligten Bestandesgrössen legt die Ordnung der Differentialgleichung fest. Wir beschränken uns hier auf Systeme mit nur einer Bestandesgrösse. Die entsprechende Menge wird dann mit einer Umgebung ausgetauscht, die häufig einen fixen Bezugspunkt für das Potenzial oder die intensive Grösse aufweist. Das abgebildete Systemdiagramm eines Reservoirs zeigt nur einen Abfluss und keinen Zufluss. Die nachfolgende Liste enthält Beispiele mit einem von aussen gesteuerten (aufgeprägten) Zustrom und einem vom Zustand des Systems abhängigen Abfluss.

System Menge intensive Grösse Abfluss
Reservoir Volumen Füllhöhe oder Druck laminar oder turbulent
Mensch Alkohol Konzentration (Gewichtspromille) über 0.2% konstant, danach linear
fallender Körper Impuls Geschwindigkeit Luftwiderstand, quadratisch

negative und positive Rückkopplung

positives und negatives Feedback

Wirkt die gespeicherte Menge über die intensive Grösse antreibend auf den Abfluss, spricht man von einer negativen Rückkopplung. Der Inhalt behindert dann das eigene Wachstum. Alle oben aufgeführten Beispiel sind negativ rückgekoppelt.

Fördert die gespeicherte Menge den Zufluss, spricht man von einer positiven Rückkopplung. Der Inhalt steigert dann das eigene Wachstum. Unbeschränkt rückgekoppelte Systeme zerstören sich in der Regel selber. Bei positiv rückgekoppelten Teilsysteme wird oft zuerst das Gesamtsystem kannibalisieren (Steuerwettbewerb).

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Beispiel

Das oben abgebildete Systemdiagramm zeigt ein Reservoir, aus dem über ein langes dünnes Rohr Wasser abfliesst. Einzelne Parameter sind schon unter Parameter erklärt worden. Bei hohem Füllstand ist der Abfluss turbulent. Die Stärke des Abflusses nimmt dann mit der Wurzel aus dem Überdruck zu

[math]I_{V_2} = \sqrt{\frac {p}{k}}[/math]

Sinkt der Wasserspiegel unter die kritische Grenze, fliesst das Wasser laminar durch das Rohr weg. Bei laminarem Abfluss ist die Stromstärke proportional zum Überdruck p beim Gefässboden

[math]I_{V_2} = \frac {p}{R_V}[/math]
Füllhöhe und Abfluss in 1000 s

Die Konstante k und der Strömungswiderstand RV sind so zu wählen, dass bei einem Füllstand von einem Meter, also bei einem Druck von 10 kPa, der Abfluss 0.01 m3/s beträgt und gerade von turbulent auf laminar umschlägt. Aus dieser Bedingung können die beiden Systemparameter berechnet werden

[math]k = \left(\frac {p}{(I_{V_2})^2}\right)_{krit}[/math] = 108 Pa s2/m6
[math]R_V = \left(\frac {p}{I_{V_2}}\right)_{krit}[/math] = 106 Pa s/m3

Damit der Umschlag beim kritischen Druck von 10 kPa auch wirklich passiert, schreibt man diese Bedingung in den Abfluss hinein:

IV2 = if p > 1e4 then sqrt(p/k) else p/R_V

In hier gezeigten Modell ist der Zufluss aus dem Beispiel unter Parameter durch aktivieren des zugehörigen Objekts und Eingabe der Tastenkombination Ctrl + Delete entfernt worden.

Die Graphik zeigt den Füllstand sowie die Stromstärke des Abflusses in Funktion der Zeit. Bei turbulentem Abfluss nimmt die Stromstärke linear und die Füllhöhe quadratisch in der Zeit ab. Der laminare Abfluss bildet zusammen mit dem Reservoir ein lineares RC-Glied. Bei linearen RC-Gliedern nimmt sowohl das Potenzial als auch die Stromstärke exponentiell mit der Zeit ab

[math]h = h_{an}e^{-t/\tau}[/math] mit [math]\tau = RC[/math]

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limitierte Rückkopplung

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