Gerades Rohrstück

System

Ein gerades, mit Flüssigkeit gefülltes System verhält sich gleichzeitig resistiv, kapazitiv und induktiv. Um das dynamische Verhalten eines mit Flüssigkeit gefüllten Rohres zu beschreiben, zerlegt man es im Modell in kleine Stücke. Diese Stücke können unterschiedlich modelliert werden (z.B L_V - R_V - C_V - R_V - L_V oder C_V - R_V - L_V - C_V). Das Widerstandsglied kann entweder laminares, turbulentes oder ein kombiniertes Verhalten zeigen. Die Kombination L_V - C_V ist für die Ausbreitung von Druckwellen verantwortlich. Solche Ketten von Systemen lassen sich mit Modelica optimal modellieren.

Widerstand

Bis zu einer kritischen Volumenstromstärke I_Vkrit verhält sich die Strömung laminar und der Strömungswiderstand R_V ist proportional zur Volumenstromstärke

[math]\Delta p = R_VI_V[/math]

Für den Strömungswiderstand eines Rohres mit dem Durchmesser d und der Länge l gilt

[math]R_V=\frac {128 \eta l}{\pi d^4}[/math]

wobei η die dynamische Viskosität bezeichnet.

Steigt der Volumenstrom über die kritische Grenze, nimmt die Strömung ein turbulentes Verhalten an. Der Druckabfall über dem Rohrstück wächst dann quadratisch zur Volumenstromstärke an

[math]\Delta p = kI_V^2[/math]

Der quadratische Widerstand k hängt nun statt von der Viskosität von der Dichte der Flüssigkeit ab

[math]k=\zeta \frac {\varrho} {2A^2} = \zeta \frac {8 \varrho}{\pi^2d^4}=\lambda \frac {8 \varrho l}{\pi^2d^5}[/math]

Die dimensionslose Grösse ζ (Zeta) heisst Widerstandszahl. Eine Widerstandszahl kann für jede turbulent durchströmte Armatur angegeben werden. Für eine gerades Stück Rohr ist die Widerstandszahl von der Länge, dem Durchmesser und der ebenfalls dimensionslosen Rohrreibungszahl abhängig

[math]\zeta = \lambda \frac {l}{d}[/math]

Die Rohrreibungszahl λ (Lambda) hängt von der Rauhigkeit der Rohrwand und ein wenig von der Strömungsgeschwindigkeit ab. Nimmt man den linearen (R_V) im Laminarbereich und den quadratischen (k ) Widerstand im turbulenten Bereich als konstant an, gilt für die kritische Volumenstromstärke

[math]I_{Vkrit} = \frac {R_V}{k}[/math]

Kapazität

Eine kapazitives Glied nimmt bei zunehmendem Potenzial Menge auf. Das Rohrstück kann nun aus zwei Günden zusätzliches Volumen speichern: die schon vorhandene Flüssigkeit verringert bei zunehmendem Druck das eigene Volumen und das Rohr dehnt sich aus. Die Kompression der Flüssigkeit und die Dehnung der Rohrwand lassen sich bei linearem Materialverhalten mit Hilfe der Geometrie sowie des Kompressionsmoduls K der Flüssigkeit und des Elastizitätsmoduls E des Wandmaterials beschrieben werden. Rechnet man die zugehörigen Volumenänderungen auf die Kapazität um, erhält man folgende Beschreibungen

[math]C_{V_{Fl}} = \frac{V}{K} = \frac {\pi d^2 l}{4K}[/math]

[math]C_{V_{Wand}} = \frac {\pi d^3l}{2Es}[/math]

wobei in der ersten Formel mit d der innere und in der zweiten der mittlere Rohrdurchmesser gemeint ist. Die Dicke der Rohrwand wird hier mit s bezeichnet. Die zweite Formel gilt nur für dünnwandige Rohre.

Induktivität

Die Trägheit der Flüssigkeit wirkt induktiv. Die hydraulische Induktivität einer Rohrleitung ist proportional zur Länge des Rohres und zur Dichte der Flüssigkeit sowie reziprok zum Querschnitt

[math]L_V = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{4l}{\pi d^2}[/math]