Lösung zu Eiswasser und Heisswasser: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 13. März 2012, 10:13 Uhr

Wir gehen hier schrittweise vor, damit wir die beiden möglichen Fälle (alles Eis geschmolzen oder Resteis vorhanden) explizit unterscheiden können.

Wird das Wasser im einen Behälter auf 0°C abgekühlt, verringert sich die Enthalpie um [math]\Delta H = mc\Delta T[/math] = 10 kg 4.19 kJ/(kg K) -50 K = -2095 kJ. Durch das Schmelzen des Eises vergrössert sich die Enthalpie im zweiten Gefass um [math]H = m_E q[/math]= 1670 kJ, was die Gesamtenthalpie um 425 kJ vermindert. Nun führt man gedanklich diese Energie wieder den zwanzig Liter Wasser zu, womit sich die Temperatur um [math]\Delta T = \frac {425 kJ}{2mc}[/math] = 5 K auf 5°C erhöht.
Die produzierte Entropie ist gleich der Summe der beiden Entropieänderungen [math]S_{prod} = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(\ln{\frac {T}{T_s}} + \ln{\frac {T}{T_a}}\right) = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(\ln{\frac {T^2}{T_s T_a}}\right)[/math] = 612 J/K.
Die ideale Wärmekraftmaschine sorgt dafür, dass die Entropie erhalten bleibt. Wird das heisse Wasser reversibel auf 0°C abgekühlt, nimmt die Entropie um [math]\Delta S = mc \ln{\frac {T_s}{T_a}}[/math] = -7.043 kJ/K ab. Um das Eis zu schmelzen, benötigt man [math]\Delta S = \frac {m_E q}{T_s}[/math] = 6.113 kJ/K. Wenn alles Wasser 0°C warm wäre, hätte die Gesamtentropie um -0.93 kJ/K abgenommen. Diese Entropie führen wir in Gedanken wieder zu und heizen damit die insgesamt 20 Liter Wasser wieder auf, was zu einer Endtemperatur von [math]T = T_s e^{\Delta S/(2m_E c)}[/math] = 276 K oder 3°C führt. Das reversible Heizen führt zu einer tieferen Temperatur als das irreversible, weil netto weniger Entropie gespeichert werden muss.
Die freigesetzte Energie ist dann gleich [math]W = \Delta H = m q_E + mc(T - T_s) + mc(T - T_a) = m_E q + mc(2T - (T_s + T_a))[/math] = -174 kJ. Dieser Betrag geht beim irreversiblen Mischen als Energie im Sinne von Arbeitsvermögen "verloren".

Vor sehr langer Zeit hat man die Energie als Arbeitsvermögen definiert. Diese Definition ist dann im 19. Jahrhundert in die Wärmelehre "hinübergerutscht". 1905 hat dann Albert Einstein der unsinnigen Aussage von Energie gleich Arbeitsvermögen den finalen Stoss versetzt, indem er zeigen konnte, dass mit Energie und Masse die gleiche physikalische Grösse gemeint ist.

Die von der Physik der dynamischen Systeme gemachte Unterscheidung zwischen zugeordnetem Energiestrom (reine Bilanzgrösse) und Prozessleistung (Arbeitsvermögen) liefert nun eine posthume Erklärung für Gleichsetzung von Energie und Arbeitsvermögen: weil die meisten bewegten Körper ihren Impuls und ihren Drehimpuls mit der Erde (also mit dem Bezugssystem) austauschen, gibt es in der Mechanik oft keinen Grund, die Begriffe transportierte Energie und freigesetzte Energie gegeneinander abzugrenzen.

Aufgabe

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-Man kann die nachfolgenden Aufgaben lösen, indem man eine einzige Gleichung aufschreibt oder aus einer Formelsammlung übernimmt. Hier wird ein schrittweises Vorgehen empfohlen, damit man die beiden möglichen Fälle (alles Eis geschmolzen oder Resteis vorhanden) explizit unterscheiden kann
+Wir gehen hier schrittweise vor, damit wir die beiden möglichen Fälle (alles Eis geschmolzen oder Resteis vorhanden) explizit unterscheiden können.
-#Wird das Wasser im einen Behälter auf 0°C abgekühlt, verringert sich die [[Enthalpie]] um <math>\Delta H = mc\Delta T</math> = 10 kg 4.19 kJ/(kg K) -50 K = -2095 kJ. Durch das Schmelzen des Eises vergrössert sich die Enthalpie im zweiten Gefass um <math>H = m_E q</math>= 1670 kJ, was zu einer totalen Abnahme der Enthalpie um 425 kJ führt. Nun führt man gedanklich diese [[Energie]] wieder den zwanzig Litern Wasser zu, womit sich die Temperatur um <math>\Delta T = \frac {425 kJ}{2mc}</math> = 5 K auf 5°C erhöht.
+#Wird das Wasser im einen Behälter auf 0°C abgekühlt, verringert sich die [[Enthalpie]] um <math>\Delta H = mc\Delta T</math> = 10 kg 4.19 kJ/(kg K) -50 K = -2095 kJ. Durch das Schmelzen des Eises vergrössert sich die Enthalpie im zweiten Gefass um <math>H = m_E q</math>= 1670 kJ, was die Gesamtenthalpie um 425 kJ vermindert. Nun führt man gedanklich diese [[Energie]] wieder den zwanzig Liter Wasser zu, womit sich die Temperatur um <math>\Delta T = \frac {425 kJ}{2mc}</math> = 5 K auf 5°C erhöht.
-#Die produzierte [[Entropie]] ist gleich der Summe der beiden Entropieänderungen <math>S_{prod} = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(ln{\frac {T}{T_s}} + ln{\frac {T}{T_a}}\right) = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(ln{\frac {T^2}{T_s T_a}}\right)</math> = 612 J/K.
+#Die produzierte [[Entropie]] ist gleich der Summe der beiden Entropieänderungen <math>S_{prod} = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(\ln{\frac {T}{T_s}} + \ln{\frac {T}{T_a}}\right) = m_E \frac {q}{T_s} + mc\left(\ln{\frac {T^2}{T_s T_a}}\right)</math> = 612 J/K.
+#Die ideale Wärmekraftmaschine sorgt dafür, dass die Entropie erhalten bleibt. Wird das heisse Wasser reversibel auf 0°C abgekühlt, nimmt die Entropie um <math>\Delta S = mc \ln{\frac {T_s}{T_a}}</math> = -7.043 kJ/K ab. Um das Eis zu schmelzen, benötigt man <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s}</math> = 6.113 kJ/K. Wenn alles Wasser 0°C warm wäre, hätte die Gesamtentropie um -0.93 kJ/K abgenommen. Diese Entropie führen wir in Gedanken wieder zu und heizen damit die insgesamt 20 Liter Wasser wieder auf, was zu einer Endtemperatur von <math>T = T_s e^{\Delta S/(2m_E c)}</math> = 276 K oder 3°C führt. Das reversible Heizen führt zu einer tieferen Temperatur als das irreversible, weil netto weniger Entropie gespeichert werden muss.
+#Die freigesetzte Energie ist dann gleich <math>W = \Delta H = m q_E + mc(T - T_s) +  mc(T - T_a) = m_E q + mc(2T - (T_s + T_a))</math> = -174 kJ. Dieser Betrag geht beim irreversiblen Mischen als Energie im Sinne von Arbeitsvermögen "verloren".
+Vor sehr langer Zeit hat man die Energie als Arbeitsvermögen definiert. Diese Definition ist dann im 19. Jahrhundert in die Wärmelehre "hinübergerutscht". 1905 hat dann ''Albert Einstein'' der unsinnigen Aussage von Energie gleich Arbeitsvermögen den finalen Stoss versetzt, indem er zeigen konnte, dass mit Energie und Masse die gleiche physikalische Grösse gemeint ist.
+Die von der [[Physik der dynamischen Systeme]] gemachte Unterscheidung zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] (reine Bilanzgrösse) und [[Prozessleistung]] (Arbeitsvermögen) liefert nun eine posthume Erklärung für Gleichsetzung von Energie und Arbeitsvermögen: weil die meisten bewegten Körper ihren [[Impuls]] und ihren [[Drehimpuls]] mit der Erde (also mit dem [[Bezugssystem]]) austauschen, gibt es in der Mechanik oft keinen Grund, die Begriffe transportierte Energie und freigesetzte Energie gegeneinander abzugrenzen.
+'''[[Eiswasser und Heisswasser|Aufgabe]]'''