Lösung zu Umwälzpumpe

Ein einfacher hydraulischer Kreis besteht aus einer Umwälzpumpe und einer langen Leitung. Die Kennlinie (Charakteristik) der Umwälzpumpe bildet im Druckdifferenz-Volumenstrom-Diagramm eine Gerade, die von rechts unten nach links ober verläuft. Die Kennlinie des Kreises ist eine Parabel mit Scheitel im Nullpunkt des Diagramms. Verbindet man nun eine Pumpe mit einem Kreis, kommt der Arbeitspunkt der Pumpe auf den Schnittpunkt der beiden Kennlinien zu liegen.

Die Leistung der Pumpe entspricht dem Rechteck, das vom Nullpunkt und vom Arbeitspunkt (aktuelle Volumenstromstärke und aktueller Druck) der Pumpe aufgespannt wird. Verschiebt man den Arbeitspunkt längs der Kennlinie der Pumpe, verändert sich die Leistung nicht allzustark. Lässt man den Arbeitspunkt längs der Kennlinie der langen Leitung wandern, nimmt die Leistung mit der dritten Potenz der Volumenstromstärke zu.

1. Bei einem bestimmten Kreis ist die Kreiskennlinie (eine Kurve von links unten nach rechts oben) vorgegeben. Vom Arbeitspunkt der Pumpe in diesem Kreis wissen wir, dass er auf der Begrenzungslinie (max. I_V) und bei einem Volumenstrom von 1.5 m³/h = 0.417 l/s liegt. Dort baut die Pumpe eine Druckdifferenz von 14 kPa auf. Folglich liefert die Pumpe eine Prozessleistung P_H von Δp * I_V = 14 kPa * 0.417 l/s = 5.83 W. Drosselt man die Pumpenleistung, läuft der Arbeitspunkt auf der Kennlinie des Kreises (Parabel) gegen den Nullpunkt der Diagramms. Beim Schnittpunkt dieser Kennlinie mit der unteren Begrenzungslinie des Arbeitsbereiches der Pumpe beträgt der Druck bei einer Fördermenge von 0.85 m³/h = 0.236 l/s noch knapp 5 kPa, was eine Leistung von etwa 1.2 W ergibt.
2. Das Verhalten des Kreises kann mit Δp = k I²_V beschrieben werden. Für diesen Kreis berechnet man eine Konstante k = Δp / (I_V)² = 14 kPa / (0.417 l/s)² = 8.05*10¹⁰ Pa s²/m⁶. Folglich benötigt man eine Druckdifferenz Δp von k * (I_V)² = 8.05*10¹⁰ Pa s²/m⁶ * (1.67 l/s)² = 2.24 bar, um 6 m³/h = 1.67 l/s zu fördern. Die dazu notwendige Leistung beträgt 224 kPa * 1.67 l/s = 374 W (weil der Druck quadratisch mit der Volumenstromstärke zunimmt, steigt die Prozessleistung mit der Volumenstromstärke hoch drei; versuchen Sie, diesen Zusammenhang mit einer Formel auszudrücken).
3. Schaltet man zwei solche Kreise in Serie, verdoppelt sich bei gleichem Volumenstrom die Druckdifferenz und deswegen auch der k-Faktor auf k = 1.61*10¹¹ Pa s²/m⁶. Der Schnittpunkt der zugehörigen Parabel und der Kennlinie der Pumpe liegt bei etwa 16 kPa und 1.1 bis 1.2 m³/h.
4. Schaltet man zwei solche Kreise parallel, fliesst bei gleichem Druck die doppelte Volumenstromstärke durch das System. Die zugehörige Anlagenkennlinie (2 parallele Kreise) verläuft also durch den Punkt 14 kPa und 3 m³/h. Dieser Punkt liegt aber oberhalb der Pumpenbegrenzungslinie. Deshalb baut die Pumpe weniger Druckdifferenz auf, wobei auch weniger Volumen gefördert wird. Der Schnittpunkt der neuen Anlagenkennlinie mit der Pumpen-Kennlinie ergibt eine Volumenstromstärke von 2.3 m³/h bei einem Druck von 7 kPa.

Schaltungen von turbulenten Widerständen

Serischaltung:

• [math]\Delta p_{tot} = \Delta p_1 + \Delta p_2[/math] mit [math]\Delta p = k I_V^2[/math]
• [math]k_{tot} = k_1 + k_2[/math]
• bei Serieschaltungen addieren sich die turbulenten Widerstände

Parallelschaltung

• [math]I_{V_{tot}} = I_{V1} + I_{V2}[/math] mit [math]I_V = \sqrt {\frac {\Delta p}{k}}[/math]
• [math]\frac {1}{\sqrt {k_{tot}}} = \frac {1}{\sqrt {k_1}} + \frac {1}{\sqrt {k_2}}[/math]
• bei Parallelschaltung addieren sich die Wurzeln aus den Reziprokwerten (addieren sich die Querschnitte der Leitungen)

Aufgabe