Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 16. Dezember 2014, 09:38 Uhr

Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man

die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet,
die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt,
den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt:

Lösung zu Frage 1

Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen

[math] \sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist

[math] \sum_i I_{mi} = \dot m[/math]

Die Masse geht aus der Rakete an die Umgebung weg, also ist die Massenstromstärke negativ. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

[math] v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

[math] I_{m} = \dot m[/math] mit [math] I_{m}= -200 kg/s\lt 0[/math]

Lösung zu Frage 2

Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (v) minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (c) relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an p-Bezugsachse vertikal nach oben)

[math] - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

[math] \dot p = [/math] - 25000 kg * 9 N/kg - 200 kg/s * (5000 m/s - 3700 m/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeld Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.

Lösung zu Frage 3

Setzt man die Massenbilanz

[math] I_m = \dot m[/math]

in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term [math] v \cdot I_m[/math] streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert

[math] - m g - c I_m = m \dot v[/math]

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

[math]\dot v = - g + c \frac {-I_m}{m}[/math] = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s²

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

Lösung zu Frage 4

Aus [math]\dot p = \dot m v + m \dot v[/math] erhält man den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Impulsänderungsrate

[math]\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = [/math] - 19.4 m/s² + 40 m/s²

Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

Aufgabe

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 *den Impulsinhalt durch das [[kapazitives Gesetz|kapazitive Gesetz]] der [[Translationsmechanik]] ([[Impuls]]inhalt gleich [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]]) ausdrückt:
+===Lösung zu Frage 1===
+Die [[Impulsbilanz]] fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen
-:<math>\sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
+:<math> \sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
 Die allgemeine [[Massenbilanz]] besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist
-:<math>\sum_i I_{mi} = \dot m</math>
+:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>
+Die Masse geht aus der Rakete an die Umgebung weg, also ist die Massenstromstärke negativ. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:
-Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases ist gleich Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c''). Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form an
-:<math>m g + (v - c) I_m = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
+:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
+:<math> I_{m} = \dot m</math> mit <math> I_{m}= -200 kg/s<0</math>
-Setzt man für die Gravitationsfeldstärke - 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von
+===Lösung zu Frage 2===
-:25000 kg * (-9 N/kg) + 1300 m/s * (-200 kg/s) = -485 kN
+Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an ''p''-Bezugsachse vertikal nach oben)
-Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeldes Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.
+:<math> - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>
+Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von
+:<math> \dot p = </math> - 25000 kg * 9 N/kg - 200 kg/s * (5000 m/s - 3700 m/s) = -485 kN
+Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeld Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.
+===Lösung zu Frage 3===
 Setzt man die Massenbilanz
-:<math>I_m = \dot m</math>
+:<math> I_m = \dot m</math>
-in die Impulsbilanz ein, erhält man eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert
+in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert
-:<math>m g - c I_m = m \dot v</math>
+:<math> - m g - c I_m = m \dot v</math>
 Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln
-:<math>\dot v = g - c \frac {I_m}{m}</math> = 20.6 m/s<sup>2</sup>
+:<math>\dot v = - g + c \frac {-I_m}{m}</math> = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s<sup>2</sup>
+Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.
+===Lösung zu Frage 4===
-Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist. Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen
+Aus <math>\dot p = \dot m v + m \dot v</math> erhält man den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Impulsänderungsrate
-:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m}</math>
+:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>
-Die Beschleunigung wird erst kleiner als Null, wenn die (negative) Impulsänderunsrate betragsmässig grösser als der Betrag des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.
+Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative  des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.
 '''[[Rakete im Gravitationsfeld|Aufgabe]]'''