Geschwindigkeit

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Die (kinematische) Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes. Als Formelzeichen verwendet man in der Regel ein kleines v. Die Geschwindigkeit wird in m/s oder km/h gemessen. In der Translationsmechanik lässt sich die Geschwindigkeit auch dynamisch, als Quotient von Impuls und Masse definieren. Die dynamische Geschwindigkeit ist das Energiebeladungsmass des Impulsstromes.

eindimensional

Bewegt sich ein Punkt längs einer Geraden, kann seine Ort in Abhängigkeit der Zeit mittels der Funktion x(t)) beschrieben oder durch das Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt Δt ist durch den folgenden Quotienten definiert

[math]\overline{v_x} = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}[/math]

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für Δt gegen 0

[math]v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}[/math]

Die Geschwindigkeit ist als Steigung aus dem Orts-Zeit-Diagramm herauszulesen.

räumlich

Bewegt sich ein Punkt im Raum, ist sein Ort durch den Vektor r(t) eindeutig festgelegt. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt Δt ist durch den folgenden Quotienten definiert

[math]\overline {\vec v} = \frac {\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}[/math]

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für Δt gegen 0

[math]\vec v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}[/math]

Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems kann die Bewegung im Raum durch drei skalare Funktionen beschrieben werden

[math]\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}[/math]

Die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind aus den entsprechenden Funktionen des Ortes zu berechenen

[math]\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}[/math]

Der Geschwindigkeitsvektor steht immer tangential zur Bahn eines Punktes.

Massenmittelpunkt

Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die dynamische Definition der Geschwindigkeit besagt, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse ist

[math]\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}[/math]

Im Modell des Massenpunktes fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Weil bei ausgedehnten Objekten die dynamische Definition der Geschwindigkeit nur auf den Massenmittelpunkt zutrifft, muss bekannt sein, wie sich die einzelnen Punkte des Körpers rrelativ zum Massenmittelpunkt bewegen:

  • Beim starren Körper ist der Massenmittelpunkt körperfest. Die Geschwindigkeit der andern Punkte des Körpers kann mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.
  • Bei verformbaren Körpern bewegen sich die einzelnen Punkt aufgrund interner dynamischer Gesetze relativ zum Massenmittelpunkt.
  • Bei quantenmechanischne Objekten bilden Ort und Impuls zwei unabhängige Grössen, die über die Kommutator-Regel miteinander verbunden sind.

Geschwindigkeitsgradient

Die dynamische Geschwindigkeit ist das translatorische Potenzial: die Geschwindigkeit besagt, wie stark ein Impulsstrom mit Energie beladen ist. Ändert sich die Geschwindigkeit längs eines Impulsstromes, wird eine Prozessleistung umgesetzt.

Resistives und induktives Verhalten können mit Hilfe des Impulsstromes und der Geschwindigkeitsdifferenz beschrieben werden. Um diese Gesetzmässigkeiten lokal zu formulieren, müssen die Stromdichten und die Gradienten der Potenziale gebildet werden.

Die negative, leitungsartige Impulsstromdichte ist unter dem Namen Spannungstensor bekannt. Der Geschwindigkeitsgradient wird wie jeder Gradient durch Ableitung nach den Ortsvariablen berechnet. Um die Schreibweise kompakt zu halten, wird nachfolgend von der Einstein-Notation gebrauch gemacht. Der Geschwindigkeitsgradient ist gleich dem Gradienten der einzelnen Komponenten der Geschwindigkeit

[math]w_{ij} := grad (\vec v) = v_{i,j} = \begin{bmatrix} \frac {\partial v_x}{\partial x} \ \frac {\partial v_x}{\partial y} \ \frac {\partial v_x}{\partial z} \\ \frac {\partial v_y}{\partial x} \ \frac {\partial v_y}{\partial y} \ \frac {\partial v_y}{\partial z} \\ \frac {\partial v_z}{\partial x} \ \frac {\partial v_z}{\partial y} \ \frac {\partial v_z}{\partial z} \end{bmatrix}[/math]

Der Geschwindigkeitsgradient lässt sich in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil aufspalten

[math]w_{ij}^s := \frac {1}{2} (w_{ij} + w_{ji})[/math]
[math]w_{ij}^a := \frac {1}{2} (w_{ij} - w_{ji}) =: \Omega_{ij}[/math]

Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (waij) entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Der symmetrische Teil (wsij) kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden

[math]w_{ij}^i := div(\vec v) \delta_{ij} = (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\delta_{ij} = v_{i,i}\delta_{ij}[/math]
[math]w_{ij}^g := (w_{ij}^s - w_{ij}^i)[/math]

Isotrope Materialen können nun mit Hilfe des isotropen und des Gestaltänderungsanteils des Geschwindigkeitsgradienten sowie der analogen Zerlegung des (symmetrischen) Spannungstensors beschrieben werden:

  • Newtonsche Flüssigkeit: die Viskosität beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Geschwindigkeitsgradienten (resistives Gesetz mit zwei Parametern)
  • Hookescher Festkörper: die Elastizität beschreibt den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate des Spannungstensors und dem Geschwindigkeitsgradienten (induktives Gesetz mit zwei Parametern)