Impulsleiter

Impuls ist eine mengenartige Grösse, die in Körpern gespeichert und zwischen den Körpern ausgetauscht werden kann. Der gespeicherte Impuls bestimmt die Geschwindigkeit (kapazitives Gesetz), der fliessende die Verformung der Körper (resistives Gesetz oder induktives Gesetz). Im Gegensatz zur Elektrizitätslehre wird in der Mechanik das induktive Gesetz zwischen Kraft und Verformung (Stromstärke und Zeitintegral der Potenzialdifferenz) statt zwischen Änderungsrate der Kraft und Geschwindigkeit (Änderungsrate der Stromstärke und Potenzialdifferenz) formuliert. Der allgemeine Ansatz für Impulsleiter lautet demnach

[math]I_p=f_1(\Delta x)+f_2(\Delta v)[/math]

Statt I_p für Impulsstromstärke könnte man auf F für Kraft schreiben. Nur ist dann nicht ganz klar, welche Kraft gemeint ist (weil eine Kraft eine Impulsstromstärke bezüglich eines Körpers ist, ergeben sich immer zwei Kräfte auf den Impulsleiter, einen beim Eintritt und einen beim Austritt).

Dämpfer

Ein Impulsleiter wirkt als reiner Dämpfer, falls die Stärke des hindurch fliessenden Impulsstromes nur von der Geschwindigkeitsdifferenz und nicht von der eigentlichen Verformung abhängt. Nimmt man zum Beispiel einen linearen Dämpfer (Dämpferkonstante k), ist die Prozessleistung immer positiv

[math]P=\Delta v I_p=\Delta v k\Delta v=k\left(\Delta v\right)^2\gt 0[/math]

Der Impulsstrom setzt Leistung frei, unabhängig davon ob sich der Leiter im Moment zusammen zieht oder dehnt.

Bei der Beschreibung nichtlinearer Dämpfern ist darauf zu achten, dass der Impulsstrom unabhängig von der Verformungsrichtung immer bergab (von hoher Geschwindigkeit zur tiefen) fliesst. Das Verhalten eines Dämpfers kann z.B. folgende Form annehmen

[math]I_p=k_1\Delta v+k_2\left|\Delta v\right|\Delta v[/math]

Die zugehörige Prozessleistung ist dann gleich

[math]P=k_1\left(\Delta v\right)^2+k_2\left|\Delta v\right|\left(\Delta v\right)^2\gt 0[/math]

Rein mathematisch liesse sich das Verhalten eines Dämpfers mit einem Polynom dritten, vierten oder gar fünften Grades beschreiben. Man muss nur darauf achten, dass der Impulsstrom für jeden Zustand bergab - von hoher zu tiefer Geschwindigkeit - fliesst. Wird die Dämpfung durch ein überströmendes Fluid erzeugt, genügt der quadratische Ansatz. Der lineare Teil wird dann durch die laminare und der quadratische durch die turbulente Strömung hervorgerufen.

Feder

Hängt die Stärke des Impulsstromes nur von der momentanen Verformung ab, verhält sich der Impulsleiter wie eine Feder. Bei einer Schraubenfeder nimmt die Stärke des Impulsstromes linear mit der Verformung zu

[math]I_p=D\Delta x[/math]

Die Prozessleistung

[math]P=\Delta vI_p=D\Delta x\Delta v[/math]

ist bei zunehmenden Strom positiv (Impulsstrom setzt in der Feder Energie frei) und bei abklingenden Strom negativ (Impulsstrom nimmt Energie von der Feder weg). Integriert man die Prozessleistung über die Zeit, erhält man die von der Feder gespeicherte Energie

[math]W=\int P dt=\int D\Delta x\frac{d\Delta x}{dt} dt=\frac D2 \left(\Delta x\right)^2[/math]

Die vom Impulsstrom in der Feder freigesetzte Energie nimmt quadratisch mit der Verformung (Stauchung oder Dehnung) zu. Die von einer beliebigen Feder gespeicherte Energie hängt ebenfalls nur von der aktuellen Verformung ab

[math]W=\int P dt=\int f_2(\Delta x)\Delta v dt=\int f_2(\Delta x)\frac{d\Delta x}{dt} dt=\int f_2(\Delta x)d(\Delta x)[/math]

Im Kraft-Verformungs-Diagramm entspricht die von der Feder aufgenommene Energie der Fläche unter der Kurve.