Impulsleiter

Aus SystemPhysik
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Impuls ist eine mengenartige Grösse, die in Körpern gespeichert und zwischen den Körpern ausgetauscht werden kann. Der gespeicherte Impuls bestimmt die Geschwindigkeit (kapazitives Gesetz), der fliessende die Verformung der Körper (resistives Gesetz oder induktives Gesetz). Im Gegensatz zur Elektrizitätslehre wird in der Mechanik das induktive Gesetz zwischen Kraft und Verformung (Stromstärke und Zeitintegral der Potenzialdifferenz) statt zwischen Änderungsrate der Kraft und Geschwindigkeit (Änderungsrate der Stromstärke und Potenzialdifferenz) formuliert. Der allgemeine Ansatz für Impulsleiter lautet demnach

[math]I_p=f_1(\Delta x)+f_2(\Delta v)[/math]

Die Differenz ist so zu bilden, dass sie bei Druck (Impuls fliesst vorwärts) positiv ist. Folglich ist die Geschwindigkeit der Eintrittsfläche von der Geschwindigkeit der Austrittsfläche abzuziehen (bezüglich des in positive Richtung fliessenden Stromes). Diese Regel gilt entsprechend für die Positionen der beiden Flächen. Statt Ip für Impulsstromstärke könnte man auch F für Kraft schreiben. Nur ist dann noch nicht festgelegt, welche Kraft gemeint ist (aus dem Impulsstrom ergeben sich immer zwei Kräfte auf den Impuls leitenden Körper, einen beim Eintritt und einen beim Austritt).

Dämpfer

Ein Impulsleiter wirkt als reiner Dämpfer, falls die Stärke des hindurch fliessenden Impulsstromes nur von der Geschwindigkeitsdifferenz und nicht von der eigentlichen Verformung abhängt. Nimmt man zum Beispiel einen linearen Dämpfer (Dämpferkonstante k), ist die Prozessleistung immer positiv

[math]P=\Delta v I_p=\Delta v k\Delta v=k\left(\Delta v\right)^2\gt 0[/math]

Der Impulsstrom setzt Leistung frei, unabhängig davon ob sich der Leiter im Moment zusammen zieht oder dehnt.

Bei der Beschreibung nichtlinearer Dämpfern ist darauf zu achten, dass der Impulsstrom unabhängig von der Verformungsrichtung immer bergab (von hoher Geschwindigkeit zur tiefen) fliesst. Das Verhalten eines Dämpfers kann z.B. folgende Form annehmen

[math]I_p=k_1\Delta v+k_2\left|\Delta v\right|\Delta v[/math]

Die zugehörige Prozessleistung ist dann gleich

[math]P=k_1\left(\Delta v\right)^2+k_2\left|\Delta v\right|\left(\Delta v\right)^2\gt 0[/math]

Rein mathematisch liesse sich das Verhalten eines Dämpfers mit einem Polynom dritten, vierten oder gar fünften Grades beschreiben. Man muss nur darauf achten, dass der Impulsstrom für jeden Zustand bergab - von hoher zu tiefer Geschwindigkeit - fliesst. Wird die Dämpfung durch ein überströmendes Fluid erzeugt, genügt der quadratische Ansatz. Der lineare Teil wird dann durch die laminare und der quadratische durch die turbulente Strömung hervorgerufen.

Das Verhalten eines Dämpfers wird graphisch im Impulsstrom-Geschwindigkeitsdifferenz-Diagramm (Kraft-Geschwindigkeits-Diagramm) dargestellt. Damit der Dämpfer Energie aufnimmt und keine abgibt muss die zugehörige Kurve durch den ersten und den dritten Quadranten des Diagramms gehen. Die Fläche, die von einem Rechteck, das zwischen Nullpunkt und aktuellem Zustand aufgespannt wird, entspricht dann der dissipierten Leistung.

Feder

Hängt die Stärke des Impulsstromes nur von der momentanen Verformung ab, verhält sich der Impulsleiter wie eine Feder. Bei einer Schraubenfeder nimmt die Stärke des Impulsstromes linear mit der Verformung zu

[math]I_p=D\Delta x[/math]

Die Prozessleistung

[math]P=\Delta vI_p=D\Delta x\Delta v[/math]

ist bei zunehmenden Strom positiv (Impulsstrom setzt in der Feder Energie frei) und bei abklingenden Strom negativ (Impulsstrom nimmt Energie von der Feder weg). Integriert man die Prozessleistung über die Zeit, erhält man die von der Feder gespeicherte Energie

[math]W=\int P dt=\int D\Delta x\frac{d\Delta x}{dt} dt=\frac D2 \left(\Delta x\right)^2[/math]

Die vom Impulsstrom in der Feder freigesetzte Energie nimmt quadratisch mit der Verformung (Stauchung oder Dehnung) zu. Bei einer beliebigen Feder hängt die gespeicherte Energie auch nur von der aktuellen Verformung ab

[math]W=\int P dt=\int f_2(\Delta x)\Delta v dt=\int f_2(\Delta x)\frac{d\Delta x}{dt} dt=\int f_2(\Delta x)d(\Delta x)[/math]

Im Impulsstrom-Verformungs-Diagramm (Kraft-Verformungs-Diagramm) entspricht die von der Feder aufgenommene Energie der Fläche unter der Kurve.

Reibfeder

Federn können auch Energie dissipieren. Nun gibt es zwei Möglichkeiten, eine solche innere Reibung in einem Federelement zu modellieren. Im ersten Fall denkt man sich einen Dämpfer (linear oder nichtlinear), der parallel zur Feder geschaltet ist. Dieser Dämpfer erzeugt dann eine von der Geschwindigkeit abhängig Reibung. Die zweite Möglichkeit wird mittels einer Hysterese modelliert. Bei einer statischen Hysterse verläuft die Federkennlinie (graphische Darstellung des Kraft-Verformungs-Diagramm) beim Einfahren auf höherem Kraftniveau als beim Ausfahren. Die von den beiden Linien ausgeschnittene Fläche entspricht der dissipierten Energie.

Die Puffer von vielen Güterwagen enthalten eine lineare Reibfeder, die beim Einfahren dreimal steifer ist als beim Ausfahren ist. Eine solche Feder wird mittels einer veränderlichen Federkonstante D modelliert. Wie bei der Gleit-Haftreibung sollte der Sprung zwischen Ein- und Ausfahren mittels einer analytisch beschreibbaren Funktion modelliert werden

[math]F=\left(D+\Delta D\tanh(a\Delta v)\right)\Delta x[/math]

Falls die Konstante a gross genug gewählt wird, schaltet die Feder sehr schnell zwischen den beiden Konstanten [math]D+\Delta D[/math] (Einfahren) und [math]D-\Delta D[/math] (Ausfahren) um.