Impulsstrom und Kraft

Ein Kraft ist als Impulsstromstärke (Oberflächenkraft) oder als Impulsquelle (Volumenkraft) bezüglich eines Systems definiert.

Impulsstrombild

In den Impulsstrombildern wird der leitungsartige Impulsstrom komponentenweise dargestellt. Jedes der drei Bilder zeigt den Fluss von einer Komponenten des Impulses. Um die drei Impulsstrombilder zu zeichnen, muss ein raumfestes Koordinatensystem (Weltsystem) festgelegt sein. Quellen oder Senken in den Impulsbildern weisen darauf hin, wo Impuls gespeichert oder mit dem Gravitationsfeld ausgetauscht wird. Welche der beiden Möglichkeit vorliegt, wird durch die Bewegung des Weltsystems festgelegt.

Der Vorstellung eines irgendwie gearteten Kraftflusses steckt in jedem guten Konstrukteur. Leider wird dabei immer nur an den Fluss einer skalaren Menge gedacht. Weil der Impuls ein Vektor ist, muss die zugehörige Stromdichte ein Tensor zweiter Stufe sein. In den hier gezeigten Bildern werden die negativ genommenen Zeilen des Spannungstensors als Pfeile dargestellt. Der Spannungstensor ist bis auf eine wirkungslose Transposition gleich minus der Dichte des leitungsartigen Impulsstromes.

Kraftbild

In den Anfängen der Mechanik untersuchte man nur Körper, die sich unter ihrer gegenseitigen Wirkung bezüglich eines leeren, absoluten Raumes bewegen. Die Kraft war damit gegeben und musste nicht weiter hinterfragt werden. Mit dem Aufkommen der technischen Mechanik im 19. Jahrhundert ist dieser Kraftbegriff auf komplexere und ruhende Systeme übertragen worden. Damit ist der Kraftbegriff eigentlich überdehnt worden. Um ihn zu retten, musste das Freischneiden als operationalisierte Methode eingeführt werden. Als Vermittler zwischen dem recht naiven Bild des Kraftpfeils, wie er sich aus der Gravitationstheorie von Newton ergibt, und dem Kraftbegriff der technischen Mechanik, kann das Seil eingesetzt werden. Weil ein Seil nur Zug aufnimmt (einachsiger Spannungszustand), kann es den Impuls nur rückwärts transportieren (Bezugsrichtung parallel zum Seil). Wirkt also ein Seil auf ein System ein, zeigt der zugehörige Kraftpfeil immer in Richtung des Seils.

Ausgehend vom Impuls kann heute eine Kraft im Sinne der klassischen Mechanik sauber definiert werden. Oberflächenkräfte sind als Flächenintergral über der Impulsstromdichte (negativer und transponierter Spannungstensor) definiert

[math]F_i=-\int j_{p_{ij}}dA_j=\int \sigma_{ji}dA_j[/math]

Die Gewichtskraft ist gleich dem Volumenintegral über die lokalen Gravitationsquellen

[math]F_{G_i}=\int \varrho g_i dV[/math]

Zwei Bilder

Wer sich der Grenzen der beiden Bilder bewusst ist und zwischen den beiden Darstellungen hin und her springen kann, besitzt eine gute Grundlage, um die Mechanik wirklich zu verstehen.

Das Kraftbild vermittelt eine objektbezogene aber koordinatenfreie Darstellung der Impulsbilanz bezüglich eines Systems. Die Impulsstrombilder stellen den Impulstransport bezogen auf ein absolutes Koordinatensystem dar. So verkörpert das Kraftbild die analytische und die Impulsstrombilder die holistische Sicht auf ein mechanisches System.

Als drittes Bild könnte noch das Flüssigkeitsbild hinzu gefügt werden. In diesem Bild wird eine Komponente des Impulses als Flüssigkeit dargestellt. Jeder Körper erscheint dann als zylinderförmiges Gefäss mit der Masse als Querschnittsfläche und der Geschwindigkeit als Füllhöhe.

Beispiele

Klotz zwischen zwei Federn

Impulsstrom und Kräfte

Das Bild zeigt einen Klotz, der zwischen zwei Federn hin und her schwingt. Zum hier skizzierten Zeitpunkt befindet sich der Klotz rechts von der Gleichgewichtslage und bewegt sich immer noch nach rechts. Die x-Koordinate des Weltsystems zeigt nach rechts, die z-Koordinate nach unten.

Im oberen Bild sind die Impulsströme eingezeichnet (rot für die x-Komponente, grün für die z-Komponente). Im Moment fliesst über beide Federn x-Impuls aus dem Klotz heraus. Weil der Impuls in der rechten Feder vorwärts fliesst, ist diese gestaucht. Die linke ist gedehnt, weil hier der Impuls rückwärts transportiert wird. Der sich immer noch vorwärts bewegende Klotz gibt zusätzlich x-Impuls an die Unterlage ab. Dieser seitwärts zur eigenen Bezugsrichtung fliessende Impulsstrom belastet das Material auf Scherung. Der z-Impuls wird vom Gravitaitonsfeld in das ganze Volumen des Klotzes gepumpt und wird danach direkt nach unten weggeführt. Dieser Impulsstrom belastet den Klotz von oben nach unten mit zunehmender Stärke auf Druck.

Das untere Bild zeigt die Kräfte auf die einzelnen Objekte. Ein Kraftpfeil symbolisiert die Impulsströme bezüglich eines Systems. Ein zufliessender Impulsstorm ergibt eine in positive Richtung weisende Komponente des Kraftpfeils, ein abfliessender dementsprechend eine negative Kraftkomponente. Die vom Gravitationsfeld der Erde erzeugte Impulsquelle wird als Gewichtskraft in den Schwerpunkt des Körpers eingetragen.

Wer den Übergang zwischen diesen beiden Darstellungen einmal begriffen hat, sollte mit dem Wechselwirkungsprinzip (Actio gleich Reactio) keine Mühe mehr haben. Dieses Prinzip besagt, dass ein Impulsstrom mit der gleichen Stärke in ein zweites System hinein fliessen muss, mit der er das erste verlassen hat.