Lösung zu Eisturm: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 22. März 2010, 13:10 Uhr

Eis hat eine Dichte von 917 kg/m³. Die Eisturm hat ein Volumen von π/4 * (6 m)² * 20 m = 565 m³ und somit eine Masse von 519 Tonnen.

Lösung 1

Die Enthalpie des Wassers nimmt um

[math]\Delta H = m (c (T_s -T_a) - q)[/math] = 519 t * (4.19 kJ/kg/K * (273 K - 288 K) - 334 kJ/kg) = -206 GJ

ab. Diese Energie muss bei -4°C in Form von Wärme an die Wärmepumpe abgeführt werden. Die Pumpe nimmt dabei

[math]S = \frac {W_{th, in}}{T_1} = \frac {-\Delta H}{T_1}[/math] = 206 GJ / 269 K = 766 MJ/K

Entropie auf. Um diese Entropie über eine Temperaturdifferenz von 318 K - 269 K = 49 K hinauf zu fördern, braucht die Pumpe im Minimum

W_P = ΔT * S = 49 K * 766 MJ/K = 37.5 GJ (10.4 MWh)

Energie.

Lösung 2

Das Wasser ändert seine Entropie um

[math]\Delta S = m (c \ln{\frac{T_s} {T_a}} - \frac {q}{T_s})[/math] = 519 t * (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 288 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = -751 MJ/K.

Wird diese Entropie an die 38°C warme andalusische Luft abgeführt, nimmt sie

W_{th, out} = T_Umgeb * (- ΔS) = 311 K * 751 MJ/K = 233 GJ

Energie in Form von Abwärme mit. Die Wärmepumpe muss nur die Differenz zwischen dieser abgegebenen (Abwärme) und der zugeführten thermischen Energie (Betrag der Enthalpieänderung) aufbringen:

W_P = W_{th, out} - W_{th, in} = 233 GJ - 206 GJ = 27.7 GJ (7.6 MWh).

Eine reale Wärmepumpe benötigt sicher mehr als doppelt so viel Energie, wie unter 1. berechnet worden ist. Zudem hätte man den Eisturm laufend kühlen müssen. Doch wie viel Energie hat wohl die Nationalrätliche Kommission für ihr Schulreisli an die Weltausstellung verpufft?

Aufgabe

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-Eis hat eine Dichte von 917 kg/m<sup>3</sup>. Die Eisturm hat somit eine Masse von 519 Tonnen.
+Eis hat eine Dichte von 917 kg/m<sup>3</sup>. Die Eisturm hat ein Volumen von &pi;/4 * (6 m)<sup>2</sup> * 20 m = 565 m<sup>3</sup> und somit eine Masse von 519 Tonnen.
-#Die [[Enthalpie]] des Wassers nimmt um <math>\Delta H = m (c (T_s -T_a) - q)</math> = -206 GJ ab. Diese Energie muss bei -4°C in Form von Wärme an die [[Wärmepumpe]] abgeführt werden. Die Pumpe nimmt dabei <math>S = \frac {Q}{T_1} = \frac {-\Delta H}{T_1}</math> = 765 MJ/K Entropie auf. Um diese Entropie über eine Temperaturdifferenz von 49 K hinauf zu fördern, braucht die Pumpe im Minimum 37.5 GJ (10.4 MWh) Energie.
+==== Lösung 1====
-#Das Wasser ändert seine [[Entropie]] um <math>\Delta S = m (c \ln{\frac{T_s} {T_a}} - \frac {q}{T_s})</math> = -751 MJ/K. Wird diese Entropie an die 38°C warme andalusische Luft abgeführt, nimmt sie 233 GJ Energie in Form von Abwärme mit. Die Wärmepumpe muss nur die Differenz zwischen dieser Abwärme und dem Betrag der Enthalpieänderung aufbringen: W = 233 GJ - 206 GJ = 27.7 GJ (7.6 MWh).
+Die [[Enthalpie]] des Wassers nimmt um
+:<math>\Delta H = m (c (T_s -T_a) - q)</math> = 519 t * (4.19 kJ/kg/K * (273 K - 288 K) - 334 kJ/kg) = -206 GJ
+ab. Diese Energie muss bei -4°C in Form von Wärme an die [[Wärmepumpe]] abgeführt werden. Die Pumpe nimmt dabei
+:<math>S = \frac {W_{th, in}}{T_1} = \frac {-\Delta H}{T_1}</math> = 206 GJ / 269 K = 766 MJ/K
+Entropie auf. Um diese Entropie über eine Temperaturdifferenz von 318 K - 269 K = 49 K hinauf zu fördern, braucht die Pumpe im Minimum
+:W<sub>P</sub> = &Delta;T * S = 49 K * 766 MJ/K = 37.5 GJ (10.4 MWh)
+Energie.
+==== Lösung 2====
+Das Wasser ändert seine [[Entropie]] um
+:<math>\Delta S = m (c \ln{\frac{T_s} {T_a}} - \frac {q}{T_s})</math> = 519 t * (4.19 kJ/kg/K * ln(273 K / 288 K) - 334 kJ/kg / 273 K) = -751 MJ/K.
+Wird diese Entropie an die 38°C warme andalusische Luft abgeführt, nimmt sie
+:W<sub>th, out</sub> = T<sub>Umgeb</sub> * (- &Delta;S) = 311 K * 751 MJ/K = 233 GJ
+Energie in Form von Abwärme mit. Die Wärmepumpe muss nur die Differenz zwischen dieser abgegebenen (Abwärme) und der zugeführten thermischen Energie (Betrag der Enthalpieänderung) aufbringen:
+:W<sub>P</sub> = W<sub>th, out</sub> - W<sub>th, in</sub>  = 233 GJ - 206 GJ = 27.7 GJ (7.6 MWh).
 Eine reale Wärmepumpe benötigt sicher mehr als doppelt so viel Energie, wie unter 1. berechnet worden ist. Zudem hätte man den Eisturm laufend kühlen müssen. Doch wie viel Energie hat wohl die Nationalrätliche Kommission für ihr Schulreisli an die Weltausstellung verpufft?