Lösung zu Gyrobus: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 20. Mai 2017, 07:35 Uhr

Die nachfolgenden Lösungen dürften etwas von den wahren Werten abweichen, weil nicht alle Daten bekannt sind.

Der Drehimpuls kann aus Energie und Winkelgeschwindigkeit berechnet werden [math] L = \frac {2 W}{\omega}[/math] = 2 * 5 kWh / 314 rad/s = 115 kNms, ω = 2 * π * 3000 U/m = 314 rad/s.
Das Massenträgheitsmoment, die Drehimpulskapazität (Grundfläche im Flüssigkeitsbild), ist gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 115 kNms / 314 rad/s = 365 kgm². Dies entspricht bei einer Masse von 1500 kg einem Trägheitsradius von [math] \sqrt{J / m} = \sqrt{365 kgm^2 / 1500 kg} [/math] = 0.24 m.
Der Drehimpuls soll in etwa 12 Stunden abgeflossen sein. Dies ergibt eine Stromstärke, also ein Drehmoment von 115 kNms / (12 * 3600 s) = 2.66 Nm. Weil für das Drehmoment dieser Reibung auch Turbulenzen im umgebenden Wasserstoff verantwortlich gewesen sein dürften, die einen nichtlinearen Widerstand hervorrufen, handelt es sich hier um einen Mittelwert.
Bei einer Kurvenfahrt ändert das Schwungrad seinen Impuls, aber nicht seinen Drehimpuls. Damit das Schwungrad die Kurvenfahrt mitmacht, muss der Gyrobus mit einer Kraft von [math] F = m \frac {v^2}{r}[/math] = 1500 kg * (15 m/s)² / 200 m = 1.69 kN auf das Rad einwirken.
Bei der Kuppenfahrt verändert sich auch die Achse des Schwungrad-Drehimpulses mit der Winkelgeschwindigkeit [math] \omega_S = v / r [/math] = 15 m/s / 200 m = 0.075 rad/s. Das dazu notwendige Drehmoment beträgt [math] M = \omega_S L [/math] = 0.075 rad/s * 115 kNms = 8.62 kNm (Die Vektoren ω_S und L stehen senkrecht zueinander).

Die gleichmässige Bewegung eines Körpers auf dem Kreis und die Schwenkbewegung des Kreisels unterliegen analogen Gesetzen. In beiden Fällen stehen Änderungsraten der Menge und die Menge (Impuls und Drehimpuls) normal zueinander

[math]\vec F_{Res} = \vec \omega_S \times \vec p[/math]

[math]\vec M_{Res} = \vec \omega_S \times \vec L[/math]

Aufgabe

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 Die nachfolgenden Lösungen dürften etwas von den wahren Werten abweichen, weil nicht alle Daten bekannt sind.
 #Der [[Drehimpuls]] kann aus [[Energie]] und [[Winkelgeschwindigkeit]] berechnet werden <math> L = \frac {2 W}{\omega}</math> = 2 * 5 kWh / 314 rad/s = 115 kNms, &omega; = 2 * &pi; * 3000 U/m = 314 rad/s.
-#Das [[Massenträgheitsmoment]], die Drehimpulskapazität (Grundfläche im [[Flüssigkeitsbild]]), ist gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 115 kNms / 314 rad/s = 365 kgm<sup>2</sup>. Dies entspricht bei einer Masse von 1500 kg einem Trägheitsradius von <math> \sqrt{J / m} = \sqrt{115 kNms / 1500 kg} </math> = 0.49 cm.
+#Das [[Massenträgheitsmoment]], die Drehimpulskapazität (Grundfläche im [[Flüssigkeitsbild]]), ist gleich Drehimpuls durch Winkelgeschwindigkeit, also gleich 115 kNms / 314 rad/s = 365 kgm<sup>2</sup>. Dies entspricht bei einer Masse von 1500 kg einem Trägheitsradius von <math> \sqrt{J / m} = \sqrt{365 kgm^2 / 1500 kg} </math> = 0.24 m.
 #Der Drehimpuls soll in etwa 12 Stunden abgeflossen sein. Dies ergibt eine Stromstärke, also ein [[Drehmoment]] von 115 kNms / (12 * 3600 s) = 2.66 Nm. Weil für das Drehmoment dieser Reibung auch Turbulenzen im umgebenden Wasserstoff verantwortlich gewesen sein dürften, die einen nichtlinearen Widerstand hervorrufen, handelt es sich hier um einen Mittelwert.
 #Bei einer Kurvenfahrt ändert das Schwungrad seinen [[Impuls]], aber nicht seinen Drehimpuls. Damit das Schwungrad die Kurvenfahrt mitmacht, muss der Gyrobus mit einer Kraft von <math> F = m \frac {v^2}{r}</math> = 1500 kg * (15 m/s)<sup>2</sup> / 200 m = 1.69 kN auf das Rad einwirken.