Lösung zu Pumpspeicherwerk: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 30. September 2013, 12:41 Uhr

[math]\eta_{Turbine}=\frac {P_{elT}}{P_{hyT}}=\frac {P_{elT}}{\rho g \Delta h I_V}=\frac {344 MW}{1000 kg/m^3 * 9.81 m/s^2 * 400 m * 93 m^3/s}=[/math] 0.943 (94.3%)
[math]\eta_{Pumpe}=\frac {P_{hyP}}{P_{elP}}[/math]

[math]P_{hyP}=\rho g \Delta h I_V=1000 kg/m^3 * 9.81 m/s^2 * 400 m * 80 m^3/s=[/math] 314 MW

Aus η_Turbine = η_Pumpe = η folgt

[math]P_{elP}=\frac{P_{hyP}}{\eta}=\frac{314 MW}{0.943} = [/math] 333 MW
Verlust: [math]P_{diss} = P_{elP}-P_{elT} = P_{elP} - \eta ^2 * P_{elP}[/math] bei gleichem Volumenstrom!

[math]\frac {P_{diss}}{P_{elP}} = [/math] 1-η² = 0.111 oder 11.1% Verlust
Weitere Verluste entstehen beim Transport durch das europäische Hochspannungsnetz. Bandenergie wird z.B. aus einem französischen Kernkraftwerk bezogen, Spitzenenergie nach Berlin geliefert. In der Presse liest man deshalb oft, dass die Belastung der internationalen Verbindungsleitungen eigentlich zu gross ist.
Abschätzuung gemäss nachfolgenden Überlegungen.

Reibungsverluste in einer Druckleitung

Die Durchmesser der Rohre können aus technischen und wirtschaftlichen Gründen nicht zu gross gewählt werden. Besonders die eigentlichen Druckleitungen müssen sehr hohe Drucke aushalten. Die Strömungsverhältnisse sind hoch turbulent. Es lässt sich folgende gerades Rohrstück Formel für die Dissipationsleistung herleiten:

[math]P_{diss}=\Delta pI_V=k I_V^3=\lambda \frac {8}{\pi^2} \rho \frac{l}{d^5}I_V^3 [/math]

Annahme: Länge total 1 km (600m horizontaler Druckstollen, 400m fast senkrechte Druckleitung)

Rechnung: Rohr mit 7 m Durchmesser: P_diss = 0.776 MW
Rechnung: zwei Rohre mit je 4 m Durchmesser: P_diss = 3.18 MW

Fazit:

Diese Verluste sind nicht zu vernachlässigen. Der Wirkungsgrad der Turbine/Pumpe ist deshalb höher als oben berechnet.
Zu jedem Energieumladeprozess gehört ein Wirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad errechnet sich dann als Produkt der einzelnen Wirkungsgrade.
Die Grimselwerke bauen zur Zeit einen Entlastungsstollen parallel zu einem alten Stollen von 10 km Länge, 3.4 m Durchmesser und einem Durchsatz von 40 m³/s. Die Verantwortlichen der Grimselwerke haben berechnet, dass sie dadurch den Energieverbrauch für 20'000 Menschen einsparen.

Aufgabe

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-#<math>\eta_{Turbine} = \frac {P_{elektr}}{P_{hydr}} = \frac {P_{elektr}}{\rho g \Delta h I_V}</math>= 0.943 (94.3%)
+#<math>\eta_{Turbine}=\frac {P_{elT}}{P_{hyT}}=\frac {P_{elT}}{\rho g \Delta h I_V}=\frac {344 MW}{1000 kg/m^3 * 9.81 m/s^2 * 400 m * 93 m^3/s}=</math> 0.943 (94.3%)
-#<math>\eta_{Pumpe} = \frac {P_{hydr}}{P_{elektr}</math><br> aus ''&eta;<sub>Turbine</sub>'' = ''&eta;<sub>Pumpe</sub>'' = ''&eta;'' folgt <br><math>P_{elektr} = \frac{P_{hydr}}{\eta} = \frac{\rho g \Delta h I_V}{\eta}</math> = 333 MW
+#<math>\eta_{Pumpe}=\frac {P_{hyP}}{P_{elP}}</math> <br><br> <math>P_{hyP}=\rho g \Delta h I_V=1000 kg/m^3 * 9.81 m/s^2 * 400 m * 80 m^3/s=</math> 314 MW<br><br> Aus ''&eta;<sub>Turbine</sub>'' = ''&eta;<sub>Pumpe</sub>'' = ''&eta;'' folgt<br> <br><math>P_{elP}=\frac{P_{hyP}}{\eta}=\frac{314 MW}{0.943} = </math> 333 MW
-#1-&eta;<sup>2</sup> = 0.111 oder 11.1% Verlust
+#Verlust: <math>P_{diss} = P_{elP}-P_{elT} = P_{elP} - \eta ^2 * P_{elP}</math> bei gleichem Volumenstrom!<br><br> <math>\frac {P_{diss}}{P_{elP}} = </math> 1-&eta;<sup>2</sup> = 0.111 oder 11.1% Verlust
 #Weitere Verluste entstehen beim Transport durch das europäische Hochspannungsnetz. Bandenergie wird z.B. aus einem französischen Kernkraftwerk bezogen, Spitzenenergie nach Berlin geliefert. In der Presse liest man deshalb oft, dass die Belastung der internationalen Verbindungsleitungen eigentlich zu gross ist.
 #Abschätzuung gemäss nachfolgenden Überlegungen.
 ===Reibungsverluste in einer Druckleitung===
-Die Durchmesser der Rohre sind aus technischen und wirtschaftlichen Gründen beschränkt; besonders die eigentlichen Druckleitungen müssen sehr hohe Drucke aushalten. Die Strömungsverhältnisse sind hoch turbulent. Es lässt sich folgende Formel für die Dissipationsleistung herleiten:
+Die Durchmesser der Rohre können aus technischen und wirtschaftlichen Gründen nicht zu gross gewählt werden. Besonders die eigentlichen Druckleitungen müssen sehr hohe Drucke aushalten. Die Strömungsverhältnisse sind hoch turbulent. Es lässt sich folgende [[gerades Rohrstück]] Formel für die Dissipationsleistung herleiten:
-<math>P_{diss} = \lambda \frac {8}{\pi^2} \rho \frac{l}{d^5}I_V^2</math>
+:<math>P_{diss}=\Delta pI_V=k I_V^3=\lambda \frac {8}{\pi^2} \rho \frac{l}{d^5}I_V^3 </math>
 '''Annahme:''' Länge total 1 km (600m horizontaler Druckstollen, 400m fast senkrechte Druckleitung)
-#Rechnung: Rohr mit 7 m Durchmesser: ''P<sub>diss</sub>'' = 0.7 MW
+#Rechnung: Rohr mit 7 m Durchmesser: ''P<sub>diss</sub>'' = 0.776 MW
-#Rechnung: zwei Rohre mit je 4 m Durchmesser: ''P<sub>diss</sub>'' = 2.9 MW
+#Rechnung: zwei Rohre mit je 4 m Durchmesser: ''P<sub>diss</sub>'' = 3.18 MW
 '''Fazit:'''
-*Diese Verluste sind nicht zu vernachlässigen, der Wirkungsgrad der Turbine/Pumpe ist deshalb höher als oben berechnet.
+*Diese Verluste sind nicht zu vernachlässigen. Der Wirkungsgrad der Turbine/Pumpe ist deshalb höher als oben berechnet.
 *Zu jedem Energieumladeprozess gehört ein Wirkungsgrad. Der Gesamtwirkungsgrad errechnet sich dann als Produkt der einzelnen Wirkungsgrade.
-*Die Grimselwerke bauen zur Zeit einen Entlastungsstollen parallel zu einem alten Stollen von 10 km Länge, 3.4 m Durchmesser und einem Durchsatz von 40 m<sup>3</sup>/s. Die Verantwortlichen der Grimselwerke haben berechnet, dass sie dadurch Strom für 20'000 Menschen sparen.
+*Die Grimselwerke bauen zur Zeit einen Entlastungsstollen parallel zu einem alten Stollen von 10 km Länge, 3.4 m Durchmesser und einem Durchsatz von 40 m<sup>3</sup>/s. Die Verantwortlichen der Grimselwerke haben berechnet, dass sie dadurch den Energieverbrauch für 20'000 Menschen einsparen.