Tut 2.2

Eine isolierte Population wie etwa die Schafe auf einer Insel ändert die Zahl ihrer Individuen durch Geburt und Tod. Die Geburtenrate minus die Sterberate ist dann gleich der Änderungsrate (Bilanzgleichung). Sind beide Raten proportional zur Anzahl der Individuen, steigt die Population exponentiell an (Geburtenrate höher als Sterberate) oder fällt exponentiell gegen Null ab (Sterberate übertrifft Geburtenrate). Da beide Verhaltensweisen in einer Katastrophe enden, müssen die Modellannahmen verfeinert werden.

Hefewachstum

SD-Modell der Hefezellen

Die Hefen (Saccharomyces cerevisiae) sind einzellige Pilze, die sich durch Sprossung vermehren. Hauptnährstoffe der Hefe bildet Zuckerrüben-Melasse zusammen mit assimilierbarem Stickstoff. Solange die Hefe genügend Nährstoffe und Raum vorfindet, teilen sich die Pilze in einem bestimmten Rhythmus. Die "Geburtenrate" ist deshalb proportional zur Anzahl der schon vorhandenen Individuen

[math]\dot N = k N[/math]

Die Konstante k ([k] = 1/s) besagt, wie viele neue Zellen pro Zeiteinheit gemessen an den schon vorhandenen entstehen.

Kommt die Hefenpopulation an ihre natürliche Grenze, wird das Wachstum gebremst. Um dieses Verhalten zu modellieren, multipliziert man die Wachstumsrate mit einer gegen Null strebenden Funktion

[math]\dot N = k \left(1 - \frac {N}{N_{max}}\right) N[/math]

Die Zuwachsrate wird um so stärker abgeschwächt, je mehr sich die Population ihrem Grenzwert nähert.

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Radioaktive Zerfälle

Im Modell zur Hefepopulation fehlt das Sterben. Der einfachste Fall von induzierter Geburt und Tod findet man bei den radioaktiven Zerfällen. So zerfällt zum Beispiel Radium 225 mit einer Halbwertszeit von 14.9 Tagen in Actinium 225, das wiederum mit einer Halbwertszeit von 10 Tagen in Francium 221 zerfällt.

Geht man von einer bestimmten Anzahl Radium 225 aus, kann die Abnahme dieser Substanz und die Zunahme von Actinium 225 modelliert werden. Weil das Francium sehr kurzlebig ist (Halbwertszeit fast 5 Minuten), wird zu jedem Zeitpunkt nur wenig von diesem Stoff vorhanden sein. Deshalb beschränken wir uns im Modell auf Radium und Actinium.

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