Lösung zu Beschleunigung Fadenpendel: Unterschied zwischen den Versionen

Inhalt hinzugefügt Inhalt gelöscht

Inline

Aktuelle Version vom 17. Februar 2010, 15:09 Uhr

Die erste Frage lässt sich mit der Erhaltung der äusseren Energie, wonach die Summe aus kinetischer und Gravitationsenergie konstant bleibt, lösen. Zur Beantwortung der zweiten und dritten Frage, sollten Sie unbedingt nach dem Schema der technischen Mechanik vorgehen. Solange man sich nur für die Translation interessiert, geht das Verfahren wir folgt:

Objekt auswählen (hier: Pendelkörper)
Alle Kräfte (Gewichtskraft und alle Oberflächenkräfte) einzeichnen (hier: Gewichtskraft und Seilkraft)
Geeignetes Koordinatensystem einführen (hier: normal und tangential zur Bewegungsrichtung)
Grundgesetz der Mechanik (Impulsbilanz) für jede Richtung formulieren (hier: Summe aus Normakomponente der Gewichtskraft und Seilkraft ist gleich Masse mal Normalbeschleunigung; Tangentialkomponente der Gewichtskraft ist gleich Masse mal Tangentialbeschleunigung)

Diese Aufgabe ist so einfach, dass man einzelne Fragen auch auf abenteuerlichem Weg "beantworten" kann. Solches führt aber kaum zu einem tieferen Verständnis der Mechanik.

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Energieerhaltung: die kinetische Energie (W_kin = m / 2 * v²) ist gleich der Änderung der Gravitationsenergie (ΔW_G = m * g * Δh): [math]W_{kin}=\Delta W_G[/math]. Aufgelöst nach der Geschwindigkeit v erhält man [math]v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2gl (\cos 30^\circ-\cos 60^\circ)}[/math] = 5.36 m/s.
Die einzigen Kräfte, die auf die Pendelmasse einwirken, sind Gewicht und Fadenkraft. Man zerlegt das Gewicht in eine Normalkomponente (senkrecht zur Bahn) und eine Tangentialkomponente (parallel zur Bahn). Die Fadenkraft und die Normalkomponente der Gravitationskraft sind zum, bzw. vom Kreiszentrum weggerichtet und beschleunigen deshalb den Pendelkörper gegen die Mitte der Kreisbahn hin. Folglich gilt [math]F_F-F_G\cos 30^\circ=ma_n=m\frac{v^2}{l}[/math]. Somit zieht der Faden bei dieser Auslenkung mit [math]F_F=m\left(\frac{v^2}{l}+g\cos 30^\circ\right)=5 kg \left(\frac{(5.36 m/s)^2}{4 m}+9.81 m/s^2 \cos 30^\circ\right)[/math] = 78.4 N am Pendelkörper.
Die Pendelmasse bewegt sich auf einer Kreisbahn mit zunehmender Geschwindigkeit. Die Beschleunigung setzt sich deshalb aus der oben schon verwendeten Normalbeschleunigung a_n = v² / l und der durch die Tangentialkomponente der Gewichtskraft verursachten Tangentialbeschleunigung a_t = g * sin(30°) zusammen: [math]a =\sqrt{a_n^2+a_t^2}=\sqrt{\frac{v^4}{l^2}+g^2sin^2(30^\circ})[/math] = 8.70 m/s².

Aufgabe

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+Die erste Frage lässt sich mit der Erhaltung der äusseren Energie, wonach die Summe aus kinetischer und Gravitationsenergie konstant bleibt, lösen. Zur Beantwortung der zweiten und dritten Frage, sollten Sie unbedingt nach dem Schema der [[technische Mechanik|technischen Mechanik]] vorgehen. Solange man sich nur für die Translation interessiert, geht das Verfahren wir folgt:
-#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Energieerhaltung: die [[kinetische Energie]] ist gleich der Änderung der Gravitationsenergie <math>W_{kin}=\Delta W_G</math>. Aufgelöst nach der Geschwindigkeit erhält man <math>v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2gl (\cos 30^\circ-\cos 60^\circ)}</math> = 5.35 m/s.
+#Objekt auswählen (hier: Pendelkörper)
-#Die Fadenkraft und die Normalkomponente der Gravitationskraft beschleunigen den Pendelkörper gegen die Mitte der Kreisbahn. Folglich gilt <math>F_F-F_G\cos 30^\circ=ma_n=m\frac{v^2}{l}</math>. Somit zieht der Faden bei dieser Auslenkung mit <math>F_F=m\left(\frac{v^2}{l}+g\cos 30^\circ\right)</math> = 78.4 N am Pendelkörper.
+#Alle Kräfte (Gewichtskraft und alle Oberflächenkräfte) einzeichnen (hier: Gewichtskraft und Seilkraft)
-#Die Beschleunigung setzt sich aus der oben schon berechneten Normalbeschleunigung und der durch die Tangentialkomponente der Gewichtskraft verursachten Tangentialbeschleunigung zusammen <math>a =\sqrt{a_n^2+a_t^2}=\sqrt{\frac{v^4}{l^2}+g^2sin^2(30^\circ})</math> = 8.7 m/s<sup>2</sup>.
+#Geeignetes Koordinatensystem einführen (hier: normal und tangential zur Bewegungsrichtung)
+#Grundgesetz der Mechanik ([[Impulsbilanz]]) für jede Richtung formulieren (hier: Summe aus Normakomponente der Gewichtskraft und Seilkraft ist gleich Masse mal Normalbeschleunigung; Tangentialkomponente der Gewichtskraft ist gleich Masse mal Tangentialbeschleunigung)
+Diese Aufgabe ist so einfach, dass man einzelne Fragen auch auf abenteuerlichem Weg "beantworten" kann. Solches führt aber kaum zu einem tieferen Verständnis der Mechanik.
+#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Energieerhaltung: die [[kinetische Energie]] (''W<sub>kin</sub> = m / 2 * v<sup>2</sup>'') ist gleich der Änderung der Gravitationsenergie (''&Delta;W<sub>G</sub> = m * g * &Delta;h''): <math>W_{kin}=\Delta W_G</math>. Aufgelöst nach der Geschwindigkeit v erhält man <math>v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2gl (\cos 30^\circ-\cos 60^\circ)}</math> = 5.36 m/s.
+#Die einzigen Kräfte, die auf die Pendelmasse einwirken, sind Gewicht und Fadenkraft. Man zerlegt das Gewicht in eine Normalkomponente (senkrecht zur Bahn) und eine Tangentialkomponente (parallel zur Bahn). Die Fadenkraft und die Normalkomponente der Gravitationskraft sind zum, bzw. vom Kreiszentrum weggerichtet und beschleunigen deshalb den Pendelkörper gegen die Mitte der Kreisbahn hin. Folglich gilt <math>F_F-F_G\cos 30^\circ=ma_n=m\frac{v^2}{l}</math>. Somit zieht der Faden bei dieser Auslenkung mit <math>F_F=m\left(\frac{v^2}{l}+g\cos 30^\circ\right)=5 kg \left(\frac{(5.36 m/s)^2}{4 m}+9.81 m/s^2 \cos 30^\circ\right)</math> = 78.4 N am Pendelkörper.
+#Die Pendelmasse bewegt sich auf einer Kreisbahn mit zunehmender Geschwindigkeit. Die Beschleunigung setzt sich deshalb aus der oben schon verwendeten Normalbeschleunigung a<sub>n</sub> = v<sup>2</sup> / l und der durch die Tangentialkomponente der Gewichtskraft verursachten Tangentialbeschleunigung a<sub>t</sub> = g * sin(30°) zusammen: <math>a =\sqrt{a_n^2+a_t^2}=\sqrt{\frac{v^4}{l^2}+g^2sin^2(30^\circ})</math> = 8.70 m/s<sup>2</sup>.
 '''[[Beschleunigung Fadenpendel|Aufgabe]]