Lösung zu Jet d'Eau: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 18. Februar 2010, 10:44 Uhr

Die Ausströmgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Gesetzes von Bernoulli gerechnet werden, falls die Wirkung der Luft vernachlässigt wird:

[math]\rho g h = \rho / 2 * v_{aus}^2[/math]

Daraus folgt die selbe Formel wie das Ausflussgesetz von Torricelli:

[math] v_{aus} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9.81 m/s^2 \cdot 140 m} [/math] = 52.4 m/s (189 km/h).

Damit entspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall aus 140 m Höhe.
Der Querschnitt der Düse ist gleich [math] A = \frac{I_V}{v} = \frac{0.5 m^3/s}{52.4 m/s}[/math] = 95.4 cm², was einem Durchmesser von 110 mm entspricht.
Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes verändert sich die Geschwindigkeit des Wassers von 52.4 m/s beim Austritt über 0 bei maximaler Höhe bis zu -52.4 m/s beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche. Die Geschwindigkeit verändert sich dabei nach dem Gesetz des freien Falls, d. h. sie nimmt mit der Beschleunigung a = -g ab. Für diese Bewegung braucht das Wasser deshalb eine Zeit t = Δv / a = 2 * (-52.4 m/s) / (-9.81 m/s₂) = 10.7 s. Folglich befinden sich mindestens 10.7 s * 0.5 m³/s = 5.35 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke der vom Strahl beim Austritt mitgeführten kinetischen Energie [math]I_{W_{kin}} = \rho_{W_{kin}}I_V =\frac{\rho}{2}v^2 I_V = \frac{1000 kg/m^3}{2} \cdot (52.4 m/s)^2 \cdot 0.5 m^3/s[/math] = 686 kW. Der wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.

Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der Kontinuitätsgleichung nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der umgebenden Luft, gilt

[math]A(h)=\frac{I_V}{v(h)}=\frac{I_V}{\sqrt{v_{aus}^2-2g h}}[/math]

wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom Gesetz von Bernoulli geliefert wird

[math]\frac{\rho}{2}v_{aus}^2=\frac{\rho}{2}v^2+\rho g h[/math].

Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die Energiebilanz nach Bernoulli die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese Betrachtung aber nicht auf die Spitze treiben.

Aufgabe

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 #Damit entspricht die Ausströmgeschwindigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall aus 140 m Höhe.
 #Der Querschnitt der Düse ist gleich <math> A = \frac{I_V}{v} = \frac{0.5 m^3/s}{52.4 m/s}</math> = 95.4 cm<sup>2</sup>, was einem Durchmesser von 110 mm entspricht.
-#Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes benötigt der das Wasser 10.6 Sekunden, um die Geschwindigkeit von 53 m/s auf -53 m/s zu verändern. Folglich befinden sich mindestens 5.25 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
+#Ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes verändert sich die Geschwindigkeit des Wassers von 52.4 m/s beim Austritt über 0 bei maximaler Höhe bis zu -52.4 m/s beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche. Die Geschwindigkeit verändert sich dabei nach dem Gesetz des freien Falls, d. h. sie nimmt mit der Beschleunigung a = -g ab. Für diese Bewegung braucht das Wasser deshalb eine Zeit t = &Delta;v / a = 2 * (-52.4 m/s) / (-9.81 m/s<sub>2</sub>) = 10.7 s. Folglich befinden sich mindestens 10.7 s * 0.5 m<sup>3</sup>/s = 5.35 t Wasser im Strahl. Weil das Wasser im Mittel langsamer absinkt als aufsteigt, dürfte der wahre Wert etwa bei 7 bis 8 Tonnen liegen.
-#Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke der vom Strahl beim Austritt mitgeführten kinetischer Energie <math>I_{W_{kin}}=\rho_{W_{kin}}I_V =\frac{\rho}{2}v^2 I_V</math> = 700 kW. Der wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.
+#Die Pumpleistung entspricht mindestens der Stromstärke der vom Strahl beim Austritt mitgeführten kinetischen Energie <math>I_{W_{kin}} = \rho_{W_{kin}}I_V =\frac{\rho}{2}v^2 I_V = \frac{1000 kg/m^3}{2} \cdot (52.4 m/s)^2 \cdot 0.5 m^3/s</math> = 686 kW. Der wahre Wert liegt bei etwa 1000 kW.
 Der Wasserstrahls muss, weil die Geschwindigkeit mit zunehmender Höhe kleiner wird, gemäss der [[Kontinuitätsgleichung]] nach oben dicker werden. Vernachlässigt man wieder den Einfluss der umgebenden Luft, gilt
-:<math>A(h)=\frac{I_V}{v(h)}=\frac{I_V}{\sqrt{v_0^2-2g h}}</math>
+:<math>A(h)=\frac{I_V}{v(h)}=\frac{I_V}{\sqrt{v_{aus}^2-2g h}}</math>
 wobei die Formel für die Geschwindigkeit vom [[Gesetz von Bernoulli]] geliefert wird
-:<math>\frac{\rho}{2}v_0^2=\frac{\rho}{2}v^2+\rho g h</math>.
+:<math>\frac{\rho}{2}v_{aus}^2=\frac{\rho}{2}v^2+\rho g h</math>.
 Würde diese Formel exakt zutreffen, müsste sich der Strahl beliebig ausweiten. Weil die Energiebilanz nach Bernoulli  die Quergeschwindigkeiten nicht berücksichtigt, darf man diese Betrachtung aber nicht auf die Spitze treiben.