Lösung zu Reversibles Mischen: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 24. März 2010, 18:39 Uhr

Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 10 kg * 4.19 kJ/(kg K) * 80 K = 3.35 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man nur 2 kg * 334 kJ/kg = 668 kJ Energie. Die freiwerdende Energie des Heisswasser reicht also, um das Eis zu schmelzen und deshalb ist nach dem fraglichen Mischvorgang nur noch Wasser vorhanden.

Lösung 1

Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T_irr von 32°C = 305 K.

Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen

[math]\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) + m_h c(T_{irr} - T_a)[/math] = 0,

T_irr = abs. Endtemp. des Gemisches, T_S = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T_a = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m_E = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m_k = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m_h = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers. Man löst die Gleichung ΔH = 0 nach T_irr auf und erhält dann ebenfalls 305 K.

Lösung 2

Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie:

[math]\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_{a}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)[/math] = 967 J/K,

weil [math]m_h = m_E + m_k[/math].

Lösung 3

Um die Temperaturen mit einer Wärmekraftmaschine (WKM) auszugleichen, würde man das Heisswasser als Wärmereservoir und das Eiswassergemisch als Kältereservoir für die WKM verwenden. Falls diese WKM reversibel arbeitete, bliebe die Entropie erhalten, d.h., dass keine zusätzliche Entropie produziert würde und dass die Entropieabnahme im Heisswasser gleich der Entropiezunahme im Eiswassergemisch wäre:

[math] \Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{rev}^2}{T_s T_a}\right)[/math] = 0.

Die Endtemperatur wäre dann gleich

[math]T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}[/math] = 301.5 K (28.5°C).

Lösung 4

Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W_Prozess ist dann gleich Energieabgabe W₁ des Heisswassers minus Energieaufnahme W₂ des Eiswassers. Die Energieabgabe W₁ entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W₁ = - ΔH_HW, die Energieaufnahme W₂ der Enthalpieänderung des Eiswassers, W₂ = ΔH_EW, also wird die abgegebene Prozessenergie

W_Prozess = - ΔH_HW - ΔH_EW = - ΔH =

[math] - m_h c(T_{rev} - T_{a}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) = [/math]

[math] m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q[/math] = 296 kJ.

Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen

[math]\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})[/math].

Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.

Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man Energie als Arbeitsvermögen bezeichnet. Albert Einstein konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und Masse gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der Thermodynamik. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die Energie erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die Entropie erhalten bleibt.

Aufgabe

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-Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 10 kg * 4.19 kJ/(kg K) * 80 K = 3.35 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man 2 kg * 334 kJ/kg = 668 kJ Energie. Nach dem fraglichen Mischvorgang ist folglich nur noch Wasser vorhanden.
+Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 10 kg * 4.19 kJ/(kg K) * 80 K = 3.35 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man nur 2 kg * 334 kJ/kg = 668 kJ Energie. Die freiwerdende Energie des Heisswasser reicht also, um  das Eis zu schmelzen und deshalb ist nach dem fraglichen Mischvorgang nur noch Wasser vorhanden.
-#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur von 32°C = 305 K. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T - T_s) - m_h c(T_a - T)</math> = 0, T = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers.
+==== Lösung 1 ====
-#Die produzierte Entropie ist gleich der aufgenommenen minus die abgegebene Entropie: <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T}{T_s}\right) -  m_h c \ln \left(\frac {T_a}{T}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K, weil  <math>m_h = m_E + m_k</math>.
+Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 3.35 MJ - 668 kJ = 2.68 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder von 0°C auf 2.68 MJ / 4.19 kJ/(kg K) / 20 kg = 32.0°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur T<sub>irr</sub> von 32°C = 305 K.
-#Könnte man den Temperaturausgleich mit Hilfe einer idealen [[Wärmekraftmaschine]] herbeiführen, bliebe  die Entropie erhalten <math>\frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0. Die Endtemperatur wäre dann gleich <math>T = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).
-#Die von der Wärmekraftmaschine abgegebene Energie ist dann gleich der Enthalpieänderung des Wassers:<math> \Delta H = m_h c(T_a - T) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T - T_s) \right) = m_h c(T_s + T_a - 2 T) - m_E q</math> = 296 kJ. Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten  (irreversiblen) Mischen des Wasser.
+Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen
+:<math>\Delta H = m_E q + (m_k + m_E)c(T_{irr} - T_s) + m_h c(T_{irr} - T_a)</math> = 0,
+T<sub>irr</sub> = abs. Endtemp. des Gemisches, T<sub>S</sub> = 273 K = Schmelztemp. von Eis, T<sub>a</sub> = 353 K = Anfangstemp. des heissen Wassers, m<sub>E</sub> = 2 kg = Masse des anfänglichen Eises, m<sub>k</sub> = 8 kg = Masse des anfänglich kalten Wassers, m<sub>h</sub> = 10 kg = Masse des anfänglich heissen Wassers. Man löst die Gleichung &Delta;H = 0 nach T<sub>irr</sub> auf und erhält dann ebenfalls 305 K.
+==== Lösung 2 ====
+Die produzierte Entropie ist gleich der Differenz zwischen der vom Eiswasser aufgenommenen und der vom Heisswasser abgegebenen Entropie:
+:<math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + (m_k + m_E) c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_s}\right) +  m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}}{T_{a}}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{irr}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K,
+weil  <math>m_h = m_E + m_k</math>.
+==== Lösung 3 ====
+Um die Temperaturen mit einer [[Wärmekraftmaschine]] (WKM) auszugleichen, würde man das Heisswasser als Wärmereservoir und das Eiswassergemisch als Kältereservoir für die WKM verwenden. Falls diese WKM reversibel arbeitete, bliebe die Entropie erhalten, d.h., dass keine zusätzliche Entropie produziert würde und dass die Entropieabnahme im Heisswasser gleich der Entropiezunahme im Eiswassergemisch wäre:
+:<math> \Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m_h c \ln \left(\frac {T_{rev}^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0.
+Die Endtemperatur wäre dann gleich
+:<math>T_{rev} = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m_h c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).
+==== Lösung 4 ====
+Die von der reversiblen WKM als Arbeit abgegebene Energie W<sub>Prozess</sub> ist dann gleich Energieabgabe W<sub>1</sub> des Heisswassers minus Energieaufnahme W<sub>2</sub> des Eiswassers. Die Energieabgabe W<sub>1</sub> entspricht der negativen Enthalpieänderung des Heisswassers, W<sub>1</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub>, die Energieaufnahme W<sub>2</sub> der Enthalpieänderung des Eiswassers, W<sub>2</sub> = &Delta;H<sub>EW</sub>, also wird die abgegebene Prozessenergie
+:W<sub>Prozess</sub> = - &Delta;H<sub>HW</sub> - &Delta;H<sub>EW</sub> = - &Delta;H =
+:<math> - m_h c(T_{rev} - T_{a}) - \left( m_E q + (m_E + m_k)c(T _{rev}- T_s) \right) = </math>
+:<math> m_h c(T_s + T_a - 2 T_{rev}) - m_E q</math> = 296 kJ.
+Dieser Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen
+:<math>\Delta H = 2 m_h c (T_{irr} - T_{rev})</math>.
+Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten  (irreversiblen) Mischen des Wasser.
 Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man [[Energie]] als Arbeitsvermögen bezeichnet. ''Albert Einstein'' konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und [[Masse]] gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] und [[Prozessleistung]] unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der [[Thermodynamik]]. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die [[Energie]] erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die [[Entropie]] erhalten bleibt.