Lösung zu Impulstransport im Rohr

Rohrquerschnitte

• Eingang: [math]A_1 =\pi/4 \cdot(0.035 m)^2 = 0.000'962 m^2, \quad[/math]
• Ausgang: [math]A_2 =\pi /4\cdot(0.025 m)^2 = 0.000'491 m^2[/math]

Frage 1

Die Strömungsgeschwindigkeiten sind durch die Kontinuitätsgleichung gegeben

[math]I_{V1}=I_{V2}\Rightarrow A_1\cdot v_1 = A_2 \cdot v_2[/math]

wobei für die mittlere Geschwindigkeit gilt

[math]v = \frac {I_V}{A}[/math]

Also ist

[math]v_1 = \frac {I_V}{A_1} = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'962 m^2}[/math] = 2.08 m/s

und

[math]v_2 = \frac {0.002 m^3/s}{0.000'491 m^2}[/math] = 4.07 m/s.

Frage 2

Die Energiebilanz, das Gesetz von Bernoulli,

[math]\left(p_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_V=\left(p_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2\right)I_V[/math]

liefert für den Druck im zweiten Querschnitt

[math]p_2 = p_1 + \frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 15 kPa + \frac{850 kg/m^3}{2} \left((2.08 m/s)^2 - (4.07 m/s)^2 \right)[/math] = 9.80 kPa.

Frage 3

Die Flüssigkeit transportiert den Impuls leitungsartig und konvektiv. Es findet jedoch kein Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld statt, weil sich der Querschnitt A₁ auf gleicher Höhe wie A₂ befindet.

Querschnitt 1

Stärke des leitungsartigen Impulsstromes

[math]I_{p1}=A_1\cdot p_1=0.000'962 m^2 \cdot 15 kPa=14.43 N [/math]

Stärke des konvektiven Impulsstromes

[math]I_{px1,konv}=v_{x1}\cdot I_m=\frac{I_V}{A_1}\cdot\rho\cdot I_V=\frac{\rho}{A_1}\cdot I_V ^2=3.53 N[/math]

Querschnitt 2

Stärke des leitungsartigen Impulsstromes

[math]F_2 = A_2 \cdot p_2 = 0.000'491 m^2 \cdot 9.8 kPa = 4.81 N [/math]

Stärke des konvektiven Impulsstromes

[math]I_{px2,konv}=\frac{\rho}{A_2}\cdot I_V ^2=6.92 N[/math]

Erhaltungsgrössen

Zählt man beide Stromstärken zusammen, erhält man für die beiden Querschnittsflächen unterschiedliche Impulsstromstärken

I_px1 = 14.43 N + 3.53 N = 18.0 N

I_px2 = 4.81 N + 6.92 N = 11.7 N

Weil sich das Rohr sanft verjüngt, bleibt im Idealfall die von der Flüssigkeit transportierte Energie längs des Stromes erhalten. Der mitgeführte Impuls nimmt dagegen ab. Bei einem Rohr, dessen Querschnitt plötzlich zunimmt, ist es umgekehrt. In diesem Fall bleibt der Impuls längs des Flüssigkeitsstromes erhalten und die mittransportierte Energie nimmt ab.

Kraftbild

Konisches Rohrstück

Im Kraftbild betrachtet man die Flüssigkeit im Rohrstück als System (freischneiden). Der Leitungsanteil des Impulsstroms, der durch einen Querschnitt fliesst, heisst dann Druckkraft der aussen liegenden Flüssigkeit auf das System. Die Kraft F₁ ist nach rechts und F₂ nach links gerichtet (um den Übergang vom Impulsstrombild zum Kraftbild genau zu verstehen, muss man wissen, dass die Referenzfläche immer ins Innere des ausgewählten Systems zu orientieren ist). Im Kraftbild dürfen die konvektiven Impulsströme ebenfalls als Kraftpfeile dargestellt werden. Die Grösse des Kraftpfeils ist gleich

[math]\vec F=\vec v I_m[/math]

Man beachte, dass ein zufliessender Massenstrom positiv und ein abfliessender negativ gezählt wird.

Frage 4

Die Differenz der beiden Impulsstromstärken von 6.3 N muss im konisch zulaufenden Teil von der Flüssigkeit an die Rohrwand abgegeben werden. Diese Differenz entspricht der x-Komponente der Kraft F_W, die die Wand auf die Flüssigkeit ausübt. Weil die Wand rotationssymmetrisch um die x-Achse verläuft, sind die über die ganze Wand aufsummierten Kräfte dF_Wand gleich einer zur x-Achse parallel ausgerichteten Kraft F_Wand.

Aufgabe