Lösung zu Kraftfluss in Autobahnbrücke

Der Begriff Kraftfluss ist dem Wunsch der Baumeister und Ingenieure nach einer bildhaften Erklärung der statischen Belastung von Bauteilen entsprungen. Diesem Wunsch kann entsprochen werden, wenn man sich von der Vorstellung eines einzigen Kraftflusses löst. Durch statische Strukturen hindurch werden insgesamt sechs Mengen (drei Komponenten des Impulses und drei Komponenten des Drehimpulses) transportiert, wobei querfliessende Impulsströme nach dem Hebelgesetz Drehimpulsquellen induzieren.

1. 

   Querkraftverlauf

   Das Gravitationsfeld führt jedem Körper z-Impuls mit der Rate [math]F_G = mg[/math] zu. In unserem Modell sind die Impulsquellen gleichmässig über die als Linie gedachte Fahrbahn verteilt. Die Masse der restlichen Teile der Brücke wird vernachlässigt. Der z-Impuls fliesst von der Fahrbahn in den Hohlkasten und von dort an die Pfeiler weg. In der Mitte zwischen den Pfeilern teilt sich der von oben kommende Impulsstrom auf und fliesst durch den Hohlkasten in den hinteren oder vorderen Pfeiler ab.
2. Genau über den Pfeilern fliesst kein z-Impuls in x-Richtung. Geht man nun von der Spitze eines Pfeilers vorwärts, d.h. in Richtung der x-Achse, springt der Betrag des Stromes stark an. Man trifft aber auf einen Gegenstrom, deshalb springt der z-Impuls auf eine stark negative Stromstärke. Diese entspricht der gesamten z-Impuls-Quellstärke der Fahrbahn von Pfeiler bis zur Mitte zwischen den Pfeilern. Die Stärke dieses in minus-x-Richtung fliessenden z-Impulsstrom steigt bis zur Mitte zwischen den Pfeilern auf Null an, um dann bis zum nächsten Pfeiler weiter auf den Maximalwert zu wachsen. Sobald man den zweiten Pfeiler verlässt, trifft man auf den nächsten Gegenstrom. Die Querkraft, die Stärke des querfliessenden Impulsstromes, sinkt also über den Pfeilern sehr schnell vom Maximal- auf den Minimalwert ab und steigt zwischen den Pfeilern kontinuierlich wieder an. Genau in der Mitte zwischen zwei Pfeilern ist die Querkraft gleich Null, weil dort die "Wasserscheide" des z-Impulsstromes liegt.

3. 

   Biegemomentenverläufe

   Der in x-Richtung fliessende y-Drehimpulsstrom wird von den Quellen gespiesen und und von den Senken geschwächt. Erzeugt werden die y-Drehimpulsquellen und -senken vom querfliessenden z-Impulsstrom. Fliesst der z-Impuls in x-Richtung bilden sich Quellen, andernfalls Senken. Die Quellen befinden sich in Fliessrichtung des z-Impulses auf der Strecke vor dem Pfeiler, Senken danach. Bringt man die Gelenke in der Mitte zwischen den Pfeilern an (ein Gelenk lässt wohl den Impuls aber je nach Bauart bestimmte Komponenten des Drehimpulses nicht durch), unterbricht das Gelenk den Drehimpulsstrom und macht ihn dort 0. Der Drehimpuls entsteht vor dem Pfeiler und wird im Hohlkasten also von Gelenk zu Gelenk über den Pfeiler hinweg geleitet. Befinden sich die Gelenke über den Pfeilern, ist dort der Drehimpulssstrom 0. Weil sich die Quellen vor dem Pfeiler befinden, fliesst der Drehimpuls gegen die x-Richtung rückwärts von Pfeiler zu Pfeiler. Im ersten Fall ist der y-Drehimpulsstrom über den Pfeilern, im zweiten in der Mitte zwischen den Pfeilern am stärksten.

Mathematisch ergibt die Ableitung der y-Drehimpulsstromstärke nach x die Stärke des durch den Hohlkasten fliessenden z-Impulsstrom. Der Biegemomentenverlauf nimmt deshalb die Gestalt von Parabelbögen an, deren Scheitel gerade über den Pfeilern zu liegen kommen. Umgekehrt berechnet sich der Biegemomentenverlauf aus dem Querkraftverlauf durch Integration über x. Die Lage der Gelenke bestimmen die Integrationskonstante.

Legt man im Abstand der Länge von gegebenen Brettern Klötze auf den Boden, können die beiden hier skizzierten Verläufe des Biegemomentes experimentell überprüft werden: beim einen Brückentyp legt man die Bretter mittig auf die Klötze, beim zweiten fügt man sie von Klotz zu Klotz aneinander. Um den wahren Verlauf der Hohlkastenverformung nachzubilden, müsste man ein sehr langes Brett über alle Klötze legen.

Aufgabe