Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld

Die eindimensionale Impulsbilanz für offene Systeme, welche die Summe über alle leitungsartigen und konvektiven Impulsströme zusammen mit der gravitativen Impulsquelle gleich der Änderungsrate des Impulsinhaltes setzt, kann etwas konkreter formuliert werden, indem man

• die Stärken der leitungsartigen Impulsströme als Kräfte bezeichnet,
• die konvektiven Impulsströme durch Massenstromstärke mal zugehörige Ausströmgeschwindigkeit ersetzt,
• die gravitative Impulsquelle als Masse mal Gravitationsfeldstärke schreibt,
• den Impulsinhalt durch das kapazitive Gesetz der Translationsmechanik (Impulsinhalt gleich Masse mal Geschwindigkeit) ausdrückt:

Lösung zu Frage 1

Die Impulsbilanz fasst die leitungsartigen Impulsströme (Kräfte), die konvektiven Impulsströme sowie die Impulsquelle (Gewichtskraft) zur Impulsänderungsrate zusammen

[math] \sum_i F_i + \sum_i v_i I_{mi} + m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Die allgemeine Massenbilanz besagt, dass die Summe über alle Massenstromstärken gleich der Änderungsrate der Masse ist

[math] \sum_i I_{mi} = \dot m[/math]

Wir wählen für die Richtung des Massenstroms die natürliche Richtung. Er führt also von der Rakete heraus in die Umgebung, sodass seine Stromstärke positiv ist. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

[math] v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

[math] I_{m} = \dot m[/math] mit [math] I_{m}\lt 0[/math]

Lösung zu Frage 2

Im vorliegenden Beispiel mit der Rakete gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (v) minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (c) relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an p-Bezugsachse vertikal nach oben)

[math] - m g - I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v[/math]

Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

[math] \dot p = [/math] - 25000 kg * 9 N/kg - 200 kg/s * (5000 m/s - 3700 m/s) = -485 kN

Der Impuls der Rakete nimmt ab, weil das Gravitationsfeld Impuls absaugt und das ausströmende Gas Impuls mitnimmt.

Lösung zu Frage 3

Setzt man die Massenbilanz

[math] - I_m = \dot m[/math]

in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term [math] v \cdot I_m[/math] streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das Grundgesetz der Mechanik erinnert

[math] - m g + c I_m = m \dot v[/math]

Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

[math]\dot v = - g + c \frac {I_m}{m}[/math] = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s²

Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

Lösung zu Frage 4

Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

[math]\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = [/math] - 19.4 m/s² + 40 m/s²

Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

Aufgabe