Änderungsrate

Begriff

Die Änderungsrate ist eine der zentralen Begriffe in der Physik der dynamischen Systeme. Auf Änderungsraten trifft man aber auch ausserhalb der Physik: Geburtenrate, Sterberate, Wachstumsrate. Mit Rate meint man in der Regel eine Veränderung pro Zeiteinheit. In der Physik nimmt man als Zeiteinheit die Sekunde, in der Wirtschaft oft das Jahr.

Als Formelzeichne für die Änderungsrate nimmt man das Formelzeichen für die sich ändernde Grösse und setzt einen Punkt darüber. Die Einheit der Änderungsrate ist gleich der Einheit der sich ändernden Grösse dividiert durch Sekunde.

Definition

Die Änderungsrate bestimmt man aus der sich ändernden Grösse, indem man die Veränderung dieser Grösse durch die dafür benötigte Zeitspanne dividiert

[math]\dot M = \frac {M(t_2) - M(t_1)} {t_2 - t_1} = \frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1}[/math]

Weil die sich ändernde Grösse oft bilanzierfähig oder mengenartig ist, steht hier das Formelzeichen M für Menge. Der zweite Differenzenquotient entspricht der üblichen Schreibweise, obwohl der erste Quotient den Sachverhalt präziser ausdrückt.

Solange die Änderungsrate konstant bleibt, ist die oben gegebene Definition der Änderungsrate exakt. Verändert sich diese Rate ebenfalls mit der Zeit, gilt die Definition nur näherungsweise. Um eine präzise Definition der Änderungsrate zu erhalten, muss das Zeitintervall beliebig kurz gewählt werden

[math]\dot M = \lim_{(t_2-t_1) \to \0}(\frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1})[/math]

Mit diesem Grenzübergang geht der Differenzenquotient in den Differentialquotienten über. Die Anwendung des Differentialquotienten auf beliebige Funktionen ist Aufgabe der Differenzialrechnung.

Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch die zwei ausgezeichneten Punkte gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.

Beispiele

Grösse	Gebiet oder Bezeichnung	Einheit der Änderungsrate
Masse	offene Systeme, Relativitätstheorie	kg/s
Volumen	Hydrodynamik	m3/s
elektrische Ladung	Elektrodynamik	A = C/s
Impuls	Translationsmechanik	N = kg m/s2
Drehimpuls	Rotationsmechanik	Nm = kg m2/s2
Entropie	Thermodynamik	W/K = kg m2/(s3 K)
Stoffmenge	Diffusion, Osmose	mol/s
Stromstärke	induktives Gesetz	[Menge]/s2
Ort	Geschwindigkeit	m/s
Geschwindigkeit	Beschleunigung	m/s2
Winkel	Winkelgeschwindigkeit	1/s
Winkelgeschwindigkeit	Winkelbeschleunigung	1/s2