Sanduhr

Wirkweise

Sauna-Sanduhr

Eine Sanduhr besteht aus zwei durch ein dünnes Röhrchen verbundene Glaskolben, wobei der eine Kolben fast vollständig mit Sand gefüllt ist. Dreht man den mit Sand gefüllten Kolben nach oben, rieselt der Sand als feiner Strahl durch das dünne Röhrchen. Damit die Uhr einwandfrei funktioniert, müssen alle Sandkörner etwa gleich gross und auf den Durchmesser des Verbindungsröhrchens abgestimmt sein.

Füllt man den einen Glaskolben mit Wasser statt mit Sand, fliesst das Wasser mit einer füllstandsabhängigen Stromstärke durch das Verbindungsröhrchen. Bei einer Wasseruhr muss also entweder die Form der Gefässe oder die Skalierung angepasst werden. Für den gleichmässigen Durchsatz des Sandes sind zwei Phänomene verantwortlich. Erstens nimmt der Druck in der Sandsäule nicht gemäss der hydrostatischen Formel zu. Zweitens ist die Stärke des Sandstromes nicht proportional zur angelegten Druckdifferenz.

Der Druckaufbau in einem mit Granulat (Sand, Getreide, Kunststoff) gefüllten, zylindrischen Gefässes ist eine interessante und sehr komplexe Angelegenheit. Eine ruhende Flüssigkeit leitet den gravitativ zufliessenden z-Impuls direkt nach unten weg. Aber im Gegensatz zu einer senkrecht stehenden Säule, in welcher nur eine linear nach unten ansteigende Stromstärke des z-Impulses nachweisbar ist (einachsiger Spannungszustand), bilden sich in der Flüssigkeit auf jeder Höhe drei gleich starke Impulsströme aus (dreiachsiger, isotroper Spannungszustand). Weil die beiden horizontalen Komponenten des Impulses in der Flüssigkeit je in ihre eigene Richtung transportiert werden, muss die Gefässwand die beiden Impulsströme zurückführen, damit die Stromkreise geschlossen bleiben. Diese in jedem unter Druck stehenden Gefäss auftretenden Kreisströme werden mit den Kesselformeln beschrieben. Im Granulat wird nun auch der z-Impuls teilweise an die Gefässwand abgeleitet. Deshalb steigt dier Druck im Granulat ab einer gewissen Eintauchtiefe kaum mehr an. Weil der seitwärts fliessender z-Impuls sekundäre x- und y-Impulsströme induziert (Gesetz der zugeordneten Schubspannung), kann ein Silo unter der Belastung bersten.

Sanduhr auf einer Waage

Stellt man eine Sanduhr mit dem gefüllten Kolben nach unten auf eine Waage, zeigt diese das Gewicht der Sanduhr an. Doch was zeigt die Waage an, wenn man die Sanduhr umdreht und wieder hinstellt? Wird die Anzeige kleiner, grösser oder bleibt sie gar gleich?

Im Ruhezustand fliesst der gravitativ zugeführte z-Impuls unmittelbar über die Waage wieder an die Erde weg. Man sagt dann, dass die Waage direkt die Gewichtskraft misst, obwohl die eigentliche Gewichtskraft, die gravitative Impulsquelle unter keinen Umständen direkt messbar ist. Die von der Waage gemessene Impulsstromstärke heisst Normalkraft, falls man die Sanduhr als Bilanzsystem auswählt, falls man die Uhr freischneidet.

erste Näherung

Nimmt man die Sanduhr von der Waagschale, dreht sie um und stellt sie wieder hin, rieselt der Sand als stationärer Strom vom oberen Kolben in den unteren. Obwohl der Impulsinhalt der Sanduhr nun nicht mehr gleich Null ist, ändert er sich, solange der Sand nach unten fällt, praktisch nicht. Folglich muss der über die Waage abfliessende Impulsstrom gleich stark sein wie die gesamte Impulsquelle. Die Waage wird also weiterhin das "Gewicht" der ruhenden Sanduhr anzeigen.

zweite Näherung

Der Impulsinhalt der Sanduhr ist aus zwei Gründen nicht exakt konstant

1. Der Sand im oberen Kolben bewegt sich langsam nach unten und verliert dauernd an Masse
2. Der vom frei fallenden Sand gebildete Strahl wird immer kürzer, verliert somit auch Masse und Impuls

Um diese Effekte, der bei einer handelsüblichen Sanduhr kaum gemessen werden können, zu verdeutlichen, nimmt man einen Hohlzylinder (Höhe 2h₀, Querschnitt A), der auf halber Höhe mit einem horizontal eingefügten Sieb ausgestattet ist. Zu Beginn sei der Raum über dem Sieb vollständig mit Sand gefüllt (Masse m), der darunterliegende Teil des Hohlzylinders leer und das Sieb verschlossen. Die Waage misst eine Impulsstromstärke, die gleich der Gewichtskraft des Gesamtsystems ist. Wird nun das Sieb geöffnet, fliesst durch das Sieb ein Massenstrom nach unten weg fliesst

[math]I_m=\frac{m}{t_{Sanduhr}}[/math]

Hubschrauber und Räubergeschichten

Die gleiche Überlegung kann man bezüglich eines Spielzeughubschraubers machen, der in einem Gefäss eingeschlossen auf einer Waage steht. Ob der Hubschrauber am Boden steht, in der Luft schwebt, gleichmässig auf- oder absteigt, spielt keine Rolle. Die Waage wird immer das Gewicht von Gefäss und Hubschrauber anzeigen. Nur in den Phasen, in denen der Hubschrauber seinen Impulsinhalt ändert, also bei einer Beschleunigung, wird die Waage ihre Anzeige gemäss der Impulsbilanz verändern.

Als einmal ein Lastwagenchauffeur gefragt worden ist, was die blaue Tafel mit der Aufschrift TIR bedeute, hat er die folgende Geschichte erzählt: TIR ist die Abkürzung für Tiertransport. Neulich hatte ich gegen fünfundreissig Tonnen Tauben geladen und bin prompt in eine Kontrolle geraten. Die Polizisten haben verdacht geschöpft und ich musste auf die Waage. Kurz vor der Wägung habe ich ein paar Mal kräftig auf die Hupe gedrückt. Aufgescheucht durch den Lärm sind tausende von Tauben hochgeflogen und haben mit ihren Köpfen den ganzen Lastwagen beinahe hochgehoben. Die Polizisten haben es kaum glauben können, als die Waage nur etwa sieben Tonnen angezeigt hat. Doch was sollten sie gegen die Anzeige einer geeichten Waage unternehmen?